一、原函数
定义1如果对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx
则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。
例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。[ln(xx2)
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。
注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。
设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。
注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）
注3：如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。
1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。
二、不定积分
定义2在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。
如果F(x)为f(x)的一个原函数，则
f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）
三、不定积分的几何意义
图5—1设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x).
在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件y(x0)y0(称为初始条件)的原函数yy(x).从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线.
四、不定积分的性质（线性性质）
[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx
k为非零常数）kf(x)dxkf(x)dx（
五、基本积分表
∫adx=ax+C，a和C都是常数
∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1∫1/xdx=ln|x|+C
∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1
∫e^xdx=e^x+C
∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=-cosx+C
∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C
∫tanxdx=-ln|cosx|+C=ln|secx|+C
∫secxdx=ln|cot(x/2)|+C
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
=-ln|secx-tanx|+C=ln|secx+tanx|+C
∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C
=(1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C
=-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+C
∫sec^2(x)dx=tanx+C
∫csc^2(x)dx=-cotx+C
∫secxtanxdx=secx+C
∫cscxcotxdx=-cscx+C
∫dx/(a^2+x^2)=(1/a)arctan(x/a)+C
∫dx/√(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C
∫dx/√(x^2+a^2)=ln|x+√(x^2+a^2)|+C
∫dx/√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C
∫√(x^2-a^2)dx=(x/2)√(x^2-a^2)-(a^2/2)ln|x+√(x^2-a^2)|+C∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln|x+√(x^2+a^2)|+C∫√(a^2-x^2)dx=(x/2)√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsin(x/a)+C
六、第一换元法（凑微分）
设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u)或f(u)duF(u)C如果u(x)，且(x)可微，则dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x)dx
即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或
f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有
定理1设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则
f[(x)](x)dx[f(u)du]
公式(2-1)称为第一类换元积分公式。u(x)u(x)(2-1)
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb
一、不定积分的概念和性质
若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C，C为积分常数不可丢！
性质1f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x)dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式f(x)dxg(x)dxg(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx.f(x)dx
kdxkxC
dx1x1C(为常数且1)1xdxlnxCax
edxeCadxlnaC
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2dxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C1x2arcsinxC（arccosxC）
直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：
1.第一类换元法（凑微分法）
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注(1)常见凑微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc),xdxd(x2c),2dc),dxd(ln|x|
c)a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx)1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：
若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；
(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；
2.第二类换元法
f(x)d(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x)常用代换类型:
(1)对被积函数直接去根号;
(2)到代换x1;t
(3)三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(，x
asect
f(，xasint
f(，xatantf(ax)dx，ta
x
f(，t
三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注(1)u的选取原则：按“反对幂三指”的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算；
(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
arcsinx1dx，
u
v
(4)多次使用分部积分法：uu求导vv积分（t；
《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。本课程包括两部分内容：复变函数和积分变换。复变函数与积分变换的学习是为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等奠定基础。
教学过程、方法及教学效果
1、命题分析
命题符合教学大纲基本要求，知识点覆盖面广，难易适中。重点考查了学生的基本概念、基本理论和技能的掌握程度以及综合运用能力。命题表述简明、准确，题量适中。
2、答题分析
绝大多数同学学习态度较好、学习积极性较高，能认真备考，掌握了相关的基本知识点，和相关题目的运算。从学生的考试情况来看，总体来说效果是比较好的。
3、成绩分析
学生总数104平均分
4、教学效果
总体情况比较理想，同学们普遍感觉对该课程的相关理论有了一定的了解，基本掌握了本课程的相关知识。
存在的不足及改进措施
在今后的教学中，尤其要加强教学内容与专业相结合，使学生更有兴趣学习这门课程，对教材进行适当的处理，调整讲解顺序，抓住关键知识点，在课堂上加大对学生训练的力度。课后及时批改学生作业，及时讲评并解答学生的各种疑难问题。
教改建议
学时相对较少，概念和理论不能深入展开讲解；应适当增加学时，以增加习题课的教学，使学生能够更牢固掌握该门课程。
90～100分(优)80～89分(良)167226优秀率70～79分(中)1315%60～69分(及)0～59分(不及)35及格率1487%