[关键词]数学概念百分数生活需要本质
[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068（2016）35-004
数学概念是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此，数学概念的教学是重要环节。百分数在学生生活、社会生产中有着广泛的应用，是小学数学中重要的基础知识之一。
对于“百分数的意义”这一概念具体该怎么教，仁者见仁，智者见智。百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。从这个意义讲，百分数具备“率”的意义，归类到分数集合。如何让学生深入理解百分数的意义呢？我在执教这一课时，进行了“三教三探”，感受颇深：只有精读教材，立足知识的本质，寻起源之“根”，才能真正让百分数的意义在学生心中扎根。
一教：从生活出发，联系实际
【案例描述】
师：课前老师让每位同学到生活中找百分数，现在先小组交流，然后选代表参加信息会，大家一起交流。
生1：我在网上查到“盈科护眼灯新产品比旧产品省电80%”。
生2：我在衣服的标签上找到“一件上衣的布料，棉的含量是65%，涤纶的含量是35%”。
生3：我在酒瓶贴的标签上找到“泸州老窖的酒精度是52%”。
生4：我在牛奶盒上找到“100%纯牛奶”。
生5：我在药品的说明书上找到……
师：听到这么多，你们想到了什么？
生6：百分数在生活中无处不在。
生7：生活离不开百分数。
师：有的同学是在生活中找到百分数，有的同学是对生活当中的一些现象做了一些分析，经过计算后得到了百分数。总之，说明一个问题，百分数在生活当中有着广泛的应用。
师：老师也找了几个，（大屏幕展示）你能说说这几个百分数的意思吗？
师：请观察并比较，每一个百分数都是几个量在进行比较？这些百分数所表达的意思有没有什么相同之处？
总结：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。
【反思】
密切联系学生的生活实际，通过“信息会”的形式让学生交流自己收集的生活中的百分数后用自己的语言描述百分数表示的意义，使学生在真实的情景中理解百分数的意义，逐步建立百分数的认知框架，同时体验百分数在日常生活中的广泛应用，这样做能充分发挥学生的主观能动性。而将数学和生活放在同一平台，能让学生体会到两者的密切联系，激发学生的学习热情，符合课程标准中“人人学游泳的数学”这一大众数学教学理念。
对于“百分数意义的认识”，如果就定位在让学生会用“表示一个数是另一个数的百分之几”描述具体百分数的意义上就行了吗？在案例中，很多学生通过模仿就能顺利说出百分数的意思。事实上，要深入理解百分数的意义，不仅要会解释生活中百分数的具体意义，更要能描述抽象百分数的意义，更重要的是理解百分数是表示两个数量相比的关系。特级教师张勇成说过：“我们教学，要教清楚知识的来龙去脉。”教学的成功之处就在于不仅要使学生“知其然”，更重要的是让学生“知其所以然”。为什么要有百分数呢？百分数有什么好处呢？百分数是怎么产生的？在第一节课结尾时学生果然提出了这样的疑问。因此，让学生经历百分数产生的过程，产生对百分数的需要，应该是这一概念教学课不可或缺的重要部分，也符合概念教学的要求，于是我进行了第二次教学。
二教：从需要出发，以人为本
【案例描述】
1.情境引入，引发探究
学校体育组组织篮球联赛（学校活动），我们班要选拔参赛选手（课件出示表1，只有“投中次数”和“姓名”两栏）。
师：老师对他们三人的投篮成绩进行了统计。你会选择谁参赛？为什么？
生1：选择张睿，因为张睿投中的次数最多。
新知总结
1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
2.百分数通常不写成分数形式，在原来的分子后面加上百分号“％”来表示，读作“百分之…”
3.百分数读作要写成大写。分数表示具体的量时后面可以带单位，表示一个数是另一个数的几分之几时后面不可以带单位，百分数属于分数的后一种情况，不可以带单位。
知识讲解
例1
百分数的概念和意义。
例2
58％，49％,23.4％的读法。
例3
一本书看了25％，还有（
）没看。
百分数和分数、小数的互化
新知总结
把小数化成百分数，只需要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把分数化成百分数，通常先把分数化成小数，除不尽时，通常保留三位小数，再化成百分数；百分数化成小数的方法，先变成分数，然后分子除以分母。
知识讲解
例1把小数化成百分数，分数化成百分数，百分数化成小数。
0.85=
1.74=
0.9=
6=
=
=
=
45％=
78％=
=
对点练习学.科.网Z.X.X.K]
1.28÷40=（
）％=（
）。（填小数）
3.
在3.14、、、34.1％和3.41这五个数中，最大的数是（
），最小的数是（
）。
5.
把0.64化成百分数是（
），化成最简分数是（
）。
6.20÷（
）
=（
）
：75
=
=（
）
％=（
）
（填小数）。
7.
把10化成百分数是（
）。
求一个数是另一个数的百分之几
新知总结
常见的百分率的计算方法：
①
合格率
=
②
发芽率
=
③
出勤率
=
④
达标率
=
⑤
成活率
=
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）
知识讲解
例1
科技小组进行玉米种子发芽实验，结果有973粒种子发芽了，27粒种子未发芽，求这批种子的发芽率。
例2选择
A.18÷22≈81.8%
B.22÷18～122.2%
C.18÷40=45%
D.22÷40=55%
六(1)班共有40名学生，其中女生有22人，男生有18人。
(1)男生人数约是女生人数的百分之几？（
）
(2)女生人数约是男生人数的百分之几？（
）
（3）女生人数是全班人数的百分之几？
（
）
（4）男生人数是全班人数的百分之几？
（
）
对点练习
1、胜利小学学生种了500棵向日葵，有25棵没成活。求成活率。
2、在一场棒球比赛中，小李在10个球中击中4个，小张在30个球中击中9个，谁的击中率高？
求一个数的百分之几是多少
解题思路：单位“1”的量×分率=所求的量
例1
一匹骆驼的体重是240
kg，一只羊的体重是这匹骆驼体重的20%。这羊的体重是多少千克？
有95%的鸡蛋孵出了小鸡
我这次我这次用2400个鸡蛋孵小鸡
例2
一共孵出多少只小鸡？
对点练习
1、一本故事书，张强读了50页，剩下的页数正好是这本故事书的60%。这本故事书共有多少页？
求一个数比另一个数多（或少）百分之几
新知总结
求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：
两个数的相差量÷单位“1”的量
×
100%
或：
①
求多百分之几：（大数÷小数
–
1）
×
100%
②
求少百分之几：（
1
-
小数÷大数）×
100%
知识讲解
例1
看图填空。
（1）
男生人数是女生人数的（
）；
（2）
女生人数是男生人数的（
）；
（3）男生人数是全班人数的（
）；
（4）女生人数是全班人数的（
）。
例2
果园里有桃树300棵，比梨树少200棵。桃树比梨树少百分之几？
对点练习
1.甲数是10，乙数是40，甲数是乙数的百分之几？乙数是甲数的百分之几？
2.150米的50％是多少米？一个数的50％是63米，这个数是多少米？
3.
把5千克糖平均分4份，每份占总重量的百分之几？每份重多少千克？
用百分数解决问题
新知总结
1、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：
数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（2）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1分率）=分率对应量
2、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
解法：
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）：
分率对应量÷对应分率
=
单位“1”的量。
[来源:学科网]
知识讲解
【例题1】一台音响改进了功能，每台提价20％，现在售价是840元，提价多少元？
【例题2】一件衣服售价240元，现在按90％销售商家还能赚50元，这件衣服实际进价是多少元？
对点练习
1.一种商品，先提价10%，再降价10%，售价与原价相等。（
）（判断对错）
2.果园里有桃树和梨树共440棵，其中梨树的棵树比桃树多20％，果园里桃树有几棵？
3.某县去年造林160公顷，今年造林200公顷。去年的造林面积是今年的几分之几？
一、小学“分数部分”教材编排时序
香港老师常常感叹内地孩子的分数计算效果很好。我对比了两地有关“分数”部分的教材，其中一些内容有不同的编排，下表是香港地区在小学中的“分数部分”的教材编排时序。
由表中可以知道，三年级学习“分数的认识”后，在四年级就进行“倍数与因数”等教学，特别是“扩分与约分”的内容对于学生来说，难度比较大。六年级的“小数、分数和百分数互化”中，教材编排先教学“百分数和分数互化”，再教学“百分数和小数互化”。这样的编排，学生难以将分数化为百分数，教学中教师需要根据学生的情况进行调整。
二、一次“分数”教学前测的活动
在四年级将要进行“分数”教学时，香港祖荛天主教小学的老师与我商量，做一次“分数”的前测，看学生对分数的初步意义理解如何。
A.四年级“分数”教学前测题
（一）写出灰色部分占全图的几分之几。
（二）依题目指示答题。
1.妈妈买了12个小蛋糕。
1）朱古力蛋糕有4个，占全部小蛋糕的几分之几？
答案：占全部的（）。
2.妈妈买了12个小蛋糕，朱古力蛋糕有4个，其余的是香蕉蛋糕。
答案：香蕉蛋糕占全部小蛋糕的（）。
3.下图由大小相同的方格组成，部分方格已涂上阴影。用铅笔在余下的方格内涂上阴影，使所有阴影部分占全图的。
4.下列哪一项是正确的？请把圆圈涂黑。
A.=1B.=1
C.=5D.=5
5.在方格内填上「或「=。
(a)(b)(c)2
6.把下列分数由大至小排列。
答案：，，
（最大）（最小）
7.下列哪些图形的阴影部分并非占全图的？
ABCD
B.香港教师前测分析
学生对于分数基本概念掌握得很好，但对于分数与整体的关系理解较弱。如：
有同学误认为=2。
加强假分数的概念教学。
注意扩分、约分的运用等。
C.香港教师制定教学策略
针对前测中学生存在的问题，老师很认真地制定了一个教学策略（如下表）。
这个看似简单的教学策略，能看出香港的数学教学不仅注重“拼砌图卡”“数图”“折纸”等动手操作活动，也注重学生的“探讨”“汇报”等不同的学习方式。
D.香港教学练习举例
通过分析问题、制定策略，老师思考在教学中把学生可能的难点与问题，如“分数的互化”也用图像表现以帮助学生理解。
如：学生利用图像方式和除法将假分数转化为带分数。
分组利用折纸体验数值相同、分数形式表达不同的经验，归纳出扩分和约分的概念。
E.香港教师分析成效及建议
在四年级的“分数”教学完成后，我和祖荛学校的老师一起面向全港进行了这部分教学的分享。在与老师交流教学心得时，老师是这样说的――
学生对以下概念掌握良好：（1）分数的种类的概念，（2）假分数、整数及带分数的概念，（3）分数的扩分和约分的计算，（4）对分数约至最简的概念，（5）分数比较的多样性方法，（6）数感的培养，（7）用数学语言解释分数的概念。
对于“分数”教学很惧怕的香港老师来说，学生在“分数比较的多样性方法”等以上7个方面掌握良好时，我很开心。同时，也看到教学中需要改进的地方，如：运用扩分及约简的概念以及解决问题的能力有待改善。
三、几个“分数”教学案例分享
在这轮分数教学的研究中，我收集了与此有关的几个教学案例，与大家一起分享。
别“一下子呆住了！”
案例一：五年级“分数应用”
“红珠子3粒，蓝珠子5粒，①蓝珠子比红珠子多几分之几？”
生1：=。
生2：1-1=。
这两个学生的思考是正确的，也有不少学生的思考有偏差。面对学生的偏差，我们要思考学生的思维方向如何，该怎样帮助调整，更要思考自己的教学如何调整。
生3：-=。
生4：=。
生5：1-=。
正如生3所说的一样，每一个学生的错都有各自的理由。如果我们能及时抓“错”，帮助学生掌握“整体1”“比较量”的分析方法，是能够创造精彩课堂的。可在现实教学中，老师对于学生的错误少了些分析与引导，那么，接下来学生会有什么样的表现呢？
“红珠子3粒，蓝珠子5粒，②红珠子比蓝珠子少几分之几？”
做法1：1-=。
做法2：=。
做法3：==1。
有7个组的学生代表不同的做法，结果“做法3”的有6个组的学生。当看到学生的“做法3”后，老师坦诚地说：“我一下子呆住了！”
课后交流，学生却说得很清楚：“在求‘①蓝珠子比红珠子多几分之几’中用‘5-3’，那么，求‘②红珠子比蓝珠子少几分之几’当然用‘5＋3’咯。”
思考：
1.学生用“5+3”的根源在于对“比多（少）”存在误区。对此，老师不能“一下子就呆住了”，更不能“无言以对”。当看到学生用“5＋3”时，就要思考其来由，与学生思维贴近些，就不至于“呆住”了。
更为重要的是，老师们一定要提升自身的数学素养，才能迅速理解学生的思考。比如，对于生2的1-1=的解法，老师应该迅速反应。
2.抓住“问题”分析“整体1”，如下：
蓝珠子比红珠子多几分之几？
===。
3.如果教学好了“A比B多（少）几分之几”，那么面对“单位A的面积是84m2，单位B的面积比单位A的面积小，单位B的面积是多少？”也就不会头痛了。还可以用“抓关键句进行简化”的分析方法，帮助学生理解。
关键句：单位B的面积比单位A的面积小
简化分析：“整体1”
单位B的面积比“1”小
（1-）
所以：84×（1-）
学生通过“抓关键句进行简化”分析，不难得出“84×（1-）”。
问“谁变了？谁没有变？”
案例二：五年级“分数乘除混合计算”
在计算24÷×时，学生出现了下列不同的计算方法。
生1：24××。
生2：。
生3：。
生4：。
生5：24÷×。
思考：面对学生众多的错误，老师往往只注重答案的对错，没有思考错在何处。这时，我们应放慢教学节奏，思考学生出错的原因，有的放矢地纠错解难。这时的“慢”，是有时机的“慢”，是有目标的“慢”，更是有效果的“慢”，教学会因为这时的“慢”而让将来的教学快起来，进而提升学习效果。
我在观课时，就有老师因为学生的一句话“”而让教学慢下来。在五年级“分数除法”中，学生练习÷3=×=后，当学生再做4÷时，一个学生说：“。”老师及时反应，抓住学生的错误，把“÷3”与“4÷”进行比较、分析并追问：“÷3的方法是怎样的？”“在计算÷3中，谁变了？谁没有变？”再问：“在计算4÷时，4是还是要变成？”
在练习中，教师设计了相关的辨析题：
÷=×（只把“÷”变“×”）
÷=÷（只把除数变为其倒数）
÷=÷（把被除数变为其倒数）
÷=×（正确的方法）
可以看到，通过教学的“慢”，在“慢”中“追问”“再问”“辨析”，学生分辨这组相似或相近的计算方法，并进行细致的比较分析，对于分数除法将不再眼花缭乱。
不要“看到分数就头痛”
“带分数加减法”的教学，我原以为比较简单，可在备课中老师也是觉得很为难，因为常常会有学生提出不同的问题而使教学难以进行，有时也会因为学生的模仿或思维定势让教学处于尴尬之地。
案例三：四年级“带分数加减法”
学生过渡性练习：
1+2=（1+2）+（+）=3=3。
学生的带分数加法练习效果很好，可接下来的带分数减法却因为带分数加法而定势。
2-1=（2-1）-（-）。
思考：
1.多数学生就是因为“（1+2）+（+）”而延伸到用“（2-1）-（-）”，这让我想到另一节课，老师在上“带分数加减”之前加强了“4-2”的教学，学生对“4-2”的理解的多样，让学生不再对“带分数加减”糊涂。
计算4-2中，有：
生1：4-2=1+（3-2）。
生2：4-2=3-2=（3-2）+（-）。
生3：4-2=（3-2）+（1-）。
生4：4-2=1+（2）-2。
由此可见，学生对于“整数减带分数”的计算方法的多样理解，有助于对“不够减的带分数”的学习。
2.分数离学生的生活比较远，生活应用也比较少。如果我们设计的题型又比较复杂的话，那么学生一看到分数就会怕。
我们要想办法缩短学生与分数之间的距离，培养学习的兴趣，至少在设计练习时，应注意题型的难度与梯度。我看到过老师用心设计的练习。
（练习题1）两个同分母分数加减：3+4-5；
（练习题2）三个异分母分数加减：-+1；
（练习题3）三个数中，前两个数不够减的真分数加减：4-9+6；
（练习题4）三个数中，前两个数不够减的带分数加减：2-3+5。
在五年级“异分母分数加减混合计算”中，老师设计这样的难度渐进的练习，符合学生的认知规律，老师的思维“蹲下来”，学生不再“看到分数就头痛”。
“孩子也精彩！”
分数对于学生来说，真的很难吗？其实，在分数的教学中，孩子们常常有意想不到的精彩。
案例四：六年级“百分数加减法”
老师出题：如何计算+的百分数？
我看到学生各自不同的计算过程，如下：
生1：+=+。
生2：+=40%+25%。
生3：+=+。
生4：+=2÷5+2÷8。
生5：+=2÷5+2÷8×100%。
生6：+=（0.4+0.25）×100%。
生7：+=（2÷5+2÷8）×100%。
生8：+=×100%+×100%。
老师在学生中巡视着，或许看到了这些，但在课堂上却没有任何的举动与感觉。课后交流时，我说：“这些学生的不同过程你看到了吗？”老师说：“我看到了一些，我也没想到有这么多，孩子也精彩！”
思考：面对孩子精彩的过程，课堂上我们也是需要静心感受孩子的思维，并适时地展现过程，让更多的学生学习。
1.“计算+的百分数”可能需要的知识点有哪些？
透过学生的练习过程看，有“异分母分数加法”“扩分”“分数与除法的关系”“分数与百分数互化”“小数与百分数互化”“分数与小数互化”等内容，学生几乎把所有与分数有关的知识都应用了，可以说“如何计算+的百分数”是分数的综合应用。
2.老师在设计“如何计算+的百分数”时，或许没有想到有8种不同的思考过程，但教学中的开放讨论能让学生的思维自由绽放，学生的思维是看得见，更是美丽多样的。
3.老师要有“静”的思想，要静心设计题型，静心感受和收集学生的精彩。在“静”中保持一双敏锐的眼睛，面对多样化的计算，要“静”中求“动”，选择适当的时机让学生激动起来，让他们看到自己的精彩。这里“静”的思考，当然需要厚重的数学素养。
“链条式”的分数学习，需要我们把“数的整除性”“约分与通分”“分数与除法”等知识的教学做得更扎实。
“体贴式”的辨析与比较在分数教学中显得尤为重要，设计“体贴入微”的辨析教学，让学生擦亮眼睛，充满信心地往前走，老师需要静心思考“孩子会怎么错”，做到“错，也错到孩子心里去”。