关键词：高中数学；分析问题；解决问题；培养策略
概念是思维的基本形式，具有确定研究对象和任务的作用。高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
如何搞好新课标下的数学概念课教学？结合参加新课程的实验和课型研究的一点成果，谈谈一些看法。
1基本模式
数学概念教学过程是在教师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃（包括概念转变），最后组织成完整的概念图式的过程。为了使学生掌握概念、发展认识能力，必须扎扎实实地处理好每一个环节。数学概念教学模式为：引入―形成―巩固与深化。
1.1概念的引入
1.1.1联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在椭圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出椭圆的定义。
1.1.2从具体到抽象引入新概念。数学概念有具体性和抽象性双重特性。在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。例如：立体几何里讲异面直线概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽象出其本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念。
1.1.3用类比的方法引入概念。类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通过圆的定义类比地归类出球的定义。作这样的类比更有利于学生理解及区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。
1.2概念的形成
1.2.1在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念。新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下3个循序渐进、不断深化的过程：①用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；②用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；③任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：（1）三角函数的值在各个象限的符号；（2）三角函数线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的图象与性质；（5）三角函数的诱导公式等。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。
1.2.2重视概念中的重要字、词的教学。在概念教学中重要的字、词就是一个条件，应多角度、多层次地剖析概念，才有利于学生深刻地理解概念。例如：等差数列的定义：“一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。”这里“从第二项起”、“每一项与它的前一项的差”、“同一个常数”的含义，一定要透彻理解，让学生知道如果漏掉其中一句甚至一个字，如“同一个常数”中的“同”字，都会造成等差数列概念的错误。
1.3巩固深化概念，训练运用概念的技能
要使学生牢固、清晰地掌握概念，必须经过概念的巩固、深化阶段。
1.3.1对易混淆的概念进行辨析，进一步理解其区别与联系，有比较才有鉴别。将易混淆的概念加以对比、辨析，明确它们的区别误概念，理解、巩固和深化概念的有力措施，也是形成清晰概念、层次清楚的认知结构的必然要求。
1.3.2通过练习形成运用概念的技能。学习概念，是为了能运用概念进行思维，运用概念解决问题。依据认识论的观点，一个完整的教学过程必须经过“由感性的具体上升到抽象的规定”和“再由抽象的规定发展到思维中的具体”这样2个科学抽象的阶段。因而概念的运用阶段也是数学概念教学不可缺少的环节。但要注意，练习的目的在于巩固深化概念，形成技能，培养分析问题、解决问题的能力。因此，选题要典型、灵活多样，对题目的挖掘、探讨要力求深入。
2应用策略
2.1新概念、新知识的引入
数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如长方体模型，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，经反复修改补充后，给出定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。
2.2新概念、新知识的教授
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如异面直线的定义，经历了以下3个过程：①利用模型，观察得出异面直线的形象理解；②用正确的数学语言来表述异面直线的定义；③应用异面直线的概念来解决实际问题。
2.3新概念、新知识的应用
数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。
2.4概念新授课教学活动中应注意的问题
对于概念新授课的教学，情景教学在其中占据着很重要的地位。引入问题的情景恰当与否对于学生对概念的掌握和理解有着很大的影响。如异面直线的概念，异面直线问题是学生首次接触，因此给出一个合适的情景就显得非常有必要了。通过情景让学生初步感受空间两直线之间的位置关系，从而在形象上对异面直线有一定的感受。
3结语
2006年，在一项中美高中生物学教科书比较研究中，显示了双方在关于概念教学认知上的不同。双方在使用同样的术语来交流的时候，对有些术语的理解是不一样的。这一问题的焦点就涉及到了生物学概念的表述和传递。经过五年时间的跟进研究和本土研究，已经对这个问题有了更为深入的思考和更为清晰的认识，并基于国内外的研究，将“凸显自然科学的核心概念”作为此次初中生物学课程标准修订的要点。为使科学教育工作者了解这一变化，本文就围绕着概念的表述与传递展开讨论和介绍。
1对概念的表述和传递
概念是对事物的抽象或概括。概念通常包括三个要素：概念名词(或概念术语)、概念的内涵及概念的外延，其中概念的内涵揭示了概念的本质属性和特点，可以较为准确地反映概念的实质；概念名词或术语是对概念的指代，当人们对同样的术语有着同样的内涵认定时，使用概念术语的交流就变得快捷和流畅。在课堂教学中，教师习惯使用术语来传递生物学或自然科学的概念。
用科学／生物学术语来传递概念。说到概念，老师们最先想到的是概念的术语，如遗传、基因、等位基因等。在课堂上，许多老师最常用的、最重视的内容也是科学和生物学的术语，认为概念名词或术语是传递科学概念最有效的方式。物理学上可以用“蒸发”这个术语来传递一个概念，生物学上也可以用“生态位”、“生态系统”这些术语来传递概念相关的重要概念。
用陈述句或以命题的方式描述来描述概念的内涵。除了使用概念名词的方式，还可以用描述概念内涵的方式来传递概念，在教育发达国际基础教育阶段的理科课程中，已经有越来越多的课程标准使用陈述句或命题来描述概念的内涵。如生物学中遗传的概念，可以有以下的不同陈述。
“亲代与子代之间、子代与子代之间往往有很大的相似之处，但不是完全一模一样”；这一句话描述的是有关遗传和变异的现象，但是它可以用一句话来表示遗传当中的最基本的要素，用浅显的文字向初学者说明什么是遗传。
“每个生物体都有一套指令信息来决定其遗传的性状”；这个陈述说的也是遗传，特别是遗传信息。
“遗传信息包含在每一个基因当中，基因位于每一个染色体上”。这一描述说到了遗传物质，又说到了基因，已经涉及到了基因和染色体的概念。
“一个可遗传的性状可由一个或多个基因来决定，一个基因是一段DNA分子，它决定机体蛋白质或氨基酸的序列”。
所有的这些陈述都是对“遗传”的一些描述，分别是从不同的角度来解释什么是遗传，遗传物质是什么，也是一种概念表述和传递的方式。
虽然使用术语和概念内涵陈述的方式都可以在教学中传递概念，但是在课堂教学中，两者在概念传递中的作用不尽相同。已经有研究表明，用概念内涵陈述的方式来表述概念有利于教师在教学中把握教学要求，并向学生传递概念。
2强调概念及其表述方式的原因
事实与概念的不同。首先要说明为什么要强调概念教学。从我国的教育传统来看，我们的确高度重视知识的教学，但这并不意味着重视了概念的教学。多年来，在我国基础教育的话语体系中，一直有一个高频使用的术语叫做“知识点”。在教师强调知识点的时候，实际上很少去注意事实与概念的不同。所以，在作为教学内容的知识点里，有些更侧重于事实方面的知识，有些更侧重于概念方面的知识。例如：
“昆虫是一类高度适应的动物类群”。
“昆虫有六条腿”。
在这两个描述当中，前边一句更抽象更概括，后者更接近于事实性的知识。在教学中，教师要向学生传递的生物学知识有些更接近于事实性的知识，有些知识更接近于概念性的知识。虽然事实和概念都是生物学的知识构成，但两者对学生学习的作用和贡献是不同的。根据已有的研究结果，概念、原理等概念性知识在人的知识构成中具有更加重要的作用。所以，当我们再讨论到生物学知识重点的时候，我们要区别地对待事实的知识和概念的知识，并将概念置于更重要的位置。
使用术语的便捷和风险。用术语传递概念的有利一方面是快捷，不必每每重复相关概念的内涵陈述，而可直接用到“生态位”，直接用到“基因频率”等概念术语。如果我们打算有效地使用这些术语来传递概念的时候，其实是有前提条件的，那就是要求参与交流的人要熟知这些概念的内涵，或者是有相应的专业背景；如果有一些非专业人员参与交流，使用这些术语在传递概念的时候可能会遇到一些困难。
人们对术语的理解不尽相同。在生物学的课堂教学活动中，我们常常可以看到老师们对“探究”、“假设”等术语有着不同的认识，而不同理解又导致了不同的教学设计和教学实践。所以，尽管生物学课程标准、不同的教师们都使用相同的术语在描述“探究”、“假设”等概念，但是每个人对于术语的理解是不尽相同的，这就使得我们要冒的一个风险：我们以为用术语可以很好地传递彼此要表达的概念，而实际上很可能是“词不达意”。
当我们把术语高频次的使用到课堂教学的情境中时，当我们面对的是中小学的学生而不是这个领域里面的专家的时候，使用术语来传递概念所要冒的风险就要比我们在教师团队之中交流所冒的风险要更大一些。为什么?因为不管是初中的学生还是高中生，他们不是这个领域的专家，当你说到这个术语的时候，他可能想到的是与教师所期待完全不同的另外一件事情或想法。这样，就会让看上去传递知识、传递概念很有效率的方法，在实际上并无实效。我们用了文字很少的术语传递内涵丰富的概念时，这个看上去效率很高的过程实际上得到的效果未必如你所愿。
熟练使用术语不一定等于理解了概念。作为生物学教学的成果，当中一个学生能够比较熟练地使用、甚至是背诵一个术语的定义的时候，不一定等于他就真正理解了相关的概念。一个学生在能够使用一个术语的时候，他可能对相应的概念既有正确的理解也有错误的认识。有的人认为术语本身(如食物链)是可以呈现概念的，但是其直接呈现和传递概念的效果是很有限。当生物学教师看到“光合作用”这四个字的时候，可以很有信心地说这四个字传递的概念让我对相应的表达非常的清晰。这是因为你是生物学教师，_已经领悟了这个概念，但是当我们说到一些我们不熟悉的领域的时候，望文生义的办法能不能让你了解这个
概念的实质。所以当我们用了术语来传递概念的时候，术语本身带给我们对概念的理解是极其有限的。
术语可以用来指代概念。当教师通过系列的教学活动帮助学生建立了一个概念(如遗传、光合作用)，然学生对这个概念有了一定的认识之后，教师要鼓励他们使用术语来传递相应的概念，使用术语来进行交流。但是这样做的前提是学生们已经建立了相应的概念，然后老师在适当的时候再把术语引入到课堂中。这是符合学生认知规律的。
定义常常不等同于概念。有些人认为概念是用定义来描述的，定义就是概念。我们来看初中课程标准中对于科学探究的描述，共有5个陈述：
科学探究是人们获取科学知识、认识世界的重要途径。
提出问题是科学探究的前提，解决科学问题常常需要作出假设。
科学探究需要通过观察和实验等多种途径来获得事实和证据。一项观察或实验重复的次数越多，获得准确结果的可能性就越大。
科学探究既需要观察和实验，又需要对证据、数据等进行分析和判断。
体会到科学探究需要利用多种方式呈现证据、数据，如采用文字、图表等方式来表述结果，需要与他人交流和合作。
这几个陈述都是对探究概念的陈述，但是它们的层次是不同的，它们的作用也不同。第一个陈述更像是一个定义，说明科学探究是人们的一种认知的途径，那是科学家常用的、可以让我们获得可信赖结果的或者高度的可信赖的结果的有效途径。这句话实际上带有定义的性质，而随后的几个陈述是在解释科学探究的不同要素。如果学生要建立了科学探究的概念，仅仅有一个定义是不够的。学生还要了解其他几个陈述才能够对科学探究有起码的理解；包括对提出问题、作出假设、观察和实验、对证据的推理和分析，以及对结论、交流的认识和理解。后面的四个陈述有助于学生更好地去理解第一个概括性的概念。换句话说，第一个陈述是更重要、更抽象、是更上位的概念。理解上位的抽象的定义是要在学生理解了若干下位概念后才能够顺利完成的事情。当我们强调某些抽象定义的重要性的时候，如果忘记了学生在理解和真正建立了对这个概念的时候需要有如干个下位概念或的支撑，就难以通过一个定义去让学生真正理解抽象的定义和概念。在生物学教学中，许多定义并不是概念内涵的全部，所以不管是“科学探究”，还是“生态系统”这样的概念，仅仅靠一个定义往往是不能包含一个概念的全部内涵。在一个定义不能完成它的全部内涵的情况下，我们要让学生建立起相关概念，就需要先教给学生若干个必要的下位的概念，为理解定义建立必要的概念支撑。教师不要过早地去满足于学生对一个定义的记忆和背诵。背诵定义未必真的代表了学一生队这个定义的内涵的理解。
3帮助学生建立和理解生物学概念
学生学习科学不能仅仅是背诵一些事实或孤立的信息。学生学习科学课程以后仅仅能够背诵一些事实、术语和定义是远远不够的。我国新修订后的初中生物学课程标准强调了学生对生物学重要概念的理解。能够背诵一些事实、术语和定义可以让学习者和教师感到很有成就感。但是对于科学的学习来讲，这样的学习成果在科学素养在发展的层次上被认为是最低的层次，这个水平离中等偏上或最高的素养水平相差甚远，这也不是我国的课程标准的期待。作为学生的学习成果，重要的是要他们在了解事实的基础上去建立对重要生物学概念的理解。
事实用来帮助学生建立和理解概念。教师要在课堂教学中帮助学生建立科学概念，并不意味着在教学过程中要完全脱离事实和具体的内容。在生物学教学中，教师还需要通过一些必要的生物学事实来帮助学生形成概念，完成从感性认识到理性认识的过程和转变。教学中，呈现生物学事实的途径可以是老师讲述、演示文稿中的图片或数据，视频来提供的生命现象或过程，也可以安排学生动手实验，用直接或间接的证据和事实帮助学生建立相对抽象的概念。在生物学课堂教学中，事实对概念形成有重要作用，但老师不能仅仅提供事实和停留在事实记忆的要求上，重要的是帮学生建立起概念。
基于概念理解而构建的知识结构。当学生建立起一系列相关的概念后，教师要帮助学生建立有意义的知识框架，而这个知识框架中的基础和主要节点就是重要的生物学概念。由概念所构建的知识网络是知识框架中的主干，一旦这个知识框架形成以后，学生就可以用它来排布、梳理知识，使得包括重要事实在内的细节知识都在这个框架中有合理的位置，便于记忆和检索。这样知识结构的建立是需要老师在课堂教学中安排必要的教学活动来帮助学生形成。只有当学生能构建合理的知识结构，当多数学生能建立自己的知识框架，教育者才能比较有把握地说我们的知识教学具有了真正的优势。而我们目前的状况与这个目标的距离尚远。所以，这也是现在课程人员在课程的设计、教材的编写方面所进行的努力之一。
理解概念是应用概念的基础。概念的应用是对学习者更高的要求，一个人如果能够很好的去运用概念和原理，首先要理解概念。理解是积极地应用概念解决问题的前提。这就是我们常说的布鲁姆的认知层级，一种阶梯式的关系。当学生基于记忆背诵能找到选择题的正确选项时，不意味着他能解决跟这个生物学概念相关的现实问题。这就是概念理解和概念应用的相互关系。
所有的教学活动(包括探究)都应该帮助学生建立和理解概念。当我们改变了教学概念的表述方式时，实际上我们对知识教学的要求也发生了改变，在有限的课时内，教师要用尽可能多的课时和尽可能多的教学活动用于帮助学生建立重要的生物学概念。不管教师采取什么教学方式或策略，动画、模拟、动手、探究，都应该是帮助学生理解相关的概念，还要将这概念融入学生的知识结构中。
评价应聚焦在学生对概念的理解、应用，而不是复述事实。过去，我们对概念和事实不加区分，试卷中会有较多的试题考查对事实的记忆，但当我们把知识的教学重点放在概念教学，强调学生对概念的理解时，评价工作需要有相应的跟进。评价工作就应该更多的考查学生对概念的理解，以及更高认知层次的概念应用。如果评价的工作能跟进及时的话，就可以鼓励学生基于理解的学习方式。当然，评价的推进工作也会遇到挑战。因为拟定考查学生对概念的理解的试题要比拟定考查记忆事实、背诵课文的试题难得多。考查学生对概念理解的试题在编制的过程当中，对教师本人的考查和要求也要高一些。
4要求生物学教师开展概念教学的原因
至2010年9月，初中生物课程标准的修订工作已经完成。2011年初，课程标准的审定工作也在按计划展开，标准颁布的工作随后将进入最后程序。课程标准教材的修订工作也随之启动。在这次课程标准的修订当中，初中生物学课程标准在原有内容标准的十个块中，都增加了重要概念的描述。当修订后的初中生物学课程标准正式颁布后，教师很快就会得到新的、强化了生物学重要概念的教科书，概念教学也会进入到初中教师的研修、备课和教学工作之中。
参考文献!
[1]张颖之、刘恩山、核心概念在理科教学中的地位和作用――从汇忆事实向理解概念的转变[J]，教育学报，2010,6(1)：57－61
关键词:数学;概念教学;形式
中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)07-0187-01
高中数学新课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质,笔者结合参加新课程教学中的实践,谈一些粗浅的看法。
一、体验数学概念的形成过程
每一个概念的产生都有着丰富的知识背景,舍弃这些背景,直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法,这种做法常常会使学生感到茫然。概念引入时教师要鼓励学生猜想,即让学生依据已有的知识和材料作出符合事实的推测性想象,让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。猜想作为数学想象表现形式的最高层次,属于创造性想象,是推动数学发展的强大动力,因此,在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯,是发展数学思维,获得数学发现的基本素质,也是培养创造性思维的重要因素。
二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念
新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义;(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义;(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:(1)三角函数的值在各个象限的符号;(2)三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系式;(4)三角函数的图象与性质;(5)三角函数的诱导公式等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键的作用。
再如讲解“函数单调性”的概念时,给出概念后应该对其进行剖析:(1)x1,x2是该区间内任意的两个实数,如果忽略任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),然后举例说明。(2)函数的单调区间是其定义域上的子集.(3)定义的内涵与外延:内涵:用自变量的变化来刻划函数值的变化规律.外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减.②几何特征:在自变量取值的区间上,若单调函数的图象从左向右上升则为增函数,图象从左向右下降则为减函数.“磨刀不误砍柴工”,重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生理解概念。
三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念
数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量,平面角与空间角,方程与不等式,映射与函数等等,在教学中应善于寻找,分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来;另一种是高中给出的定义,是从集合、映射的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象的集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,函数可用图象、表格、解析式等表示,所以高中用集合与映射的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。
四、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念
数学概念形成之后,通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生对数学概念的巩固以及解题能力的形成。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了学生的好奇心以及探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外,教师通过反例、错解等进行辨析,也有利于学生巩固概念。
众所周知，数学概念是建立数学知识体系的基本要素，是数学判断、推理的基础，是培养学生数学能力和发展智力的起点。因此，概念教学历来是数学教学的重点内容之一。
就小学生而言，对数学概念的理解水平既是数学素养的基本体现，更关系到掌握数学知识的基础是否扎实。但是，鉴于小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多数学概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义，但这并不意味着概念的呈现可以“生活化”，可以随心所欲，而同样应该体现数学的特性、数学的魅力。这种“数学的熏陶”能从小就给学生以逻辑的严谨性感受，这是其他学科所难以替代的。
数学概念的定义方式是多样的，在初等数学中用得最多的是属加种差定义。这是因为我们认识客观世界大多遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知的往复循环、逐步深入的过程。而属加种差的定义概念方式是对数学知识形成过程最好的诠释。另一方面，在同一数学知识体系中总会有一系列概念属于同一类型，例如，四边形平行四边形矩形、菱形正方形等。这些概念之间的外延存在包含关系，称之为属种关系。即前面的概念是后面概念的属概念、后面的概念是前面概念的种概念。因而，利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念来解释未知的种概念便成为可能。
例如，“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”这一定义表明，矩形是一种平行四边形，它和其他平行四边形的区别是“有一个角是直角”。
一般而言，在属加种差定义中指明了两点：①指出了一个更一般的概念（属概念），被定义的概念则是它的特例；②指出了被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（种差）。因而，属加种差定义可用公式表示为：属概念+种差=被定义概念。
基于上述理解，笔者认为对数学概念（即使是小学数学教学中的有关概念）下定义应该注意以下几个方面。
一、用属加种差的方式给概念下定义应选取与被定义的概念最邻近的属概念
如给“矩形”下定义，先要找到它的属概念。众所周知，平行四边形和四边形都可以作为矩形的属概念，但平行四边形是与矩形更邻近的属。在平行四边形这个属里，除了包含矩形这个种外，还包含其他种，所以还需要进一步找出矩形所具有的、区别于其他种的本质属性（即种差）。显然，“一个角是直角”是矩形最简单的一个种差。于是就有了“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”的定义。当然，“属概念一般应该与被定义概念是最邻近的”意味着也可以从较“远”的属概念出发定义，但这就导致需要更多的种差来区分不同的种概念。如作为矩形属概念的四边形，由于其外延更大，平行四边形、梯形等都是其种概念，因而，要区别于更多的其他种概念，从四边形出发定义矩形就需要找更多的种差，如“直角”就需要从一个增加到三个。由此不难理解，属概念与被定义的概念越邻近，种差就越简单。
由此可知，首先，从最邻近的属概念出发定义种概念可以最完美地体现数学知识的逻辑结构，更易使知识系统化。其次，根据学生的接受能力，在已知概念的基础上增加最少的知识所形成的新的概念在理解和掌握上会更容易些，会更有利于形成合理的认知结构。再次，用与被定义概念最邻近的属概念定义，使新概念有一个良好的归属，有利于概念的分类。试想，直接从四边形出发定义矩形，对四边形和特殊四边形的分类将出现何等尴尬的现象？
所以，用属加种差方式定义数学概念尽量不要越级选取属概念。
二、数学概念下定义要严谨
首先，不能用对生活常识概念的理解方式去理解数学概念。即一个数学概念的定义在顾及学生能够理解的同时，也应该考虑其严谨性。那种“我的课堂我做主”的随意性在这里是要不得的。例如，将汉语词典中的一些名词解释作为数学概念的定义就不是研究学问的好方法。
其次，给数学概念下定义必须简明。就是说，定义中不能包含可以互相经过推理而得出的属性。“种差”少了，无法刻画这个概念准确的内涵（导致外延扩大），当然不行；而多了同样不行，即使不矛盾也是累赘而不够简洁。因而，“种差不多也不少”也是下定义的基本要求。例如，将矩形定义为“四个角是直角的四边形”显然不够简明，因为用“有三个角是直角”这个“种差”就可以了。
三、定义数学概念既要尊重学生现实又要体现数学特性
众所周知，数学概念的定义是人为的，如同我们熟知的欧氏几何是从平行公理（过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）作为起点之一，定义几何概念，形成欧氏几何体系；而非欧几何又是从各自的平行公理（过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行和过直线外一点没有一条直线与已知直线平行）作为重要的出发点之一而形成了以“三角形内角和大于（小于）180°”为显著特征的非欧几何学体系。但是，数学教学中的数学概念还是按教材中给出的定义教学为好，因为教材相对较好地体现了数学知识体系的递进关系和儿童学习数学的渐进程序。像“矩形”这种长期以来已被大家所认可并且在教材中固定下来的定义，我们就不必再去重新定义了。
“矩形”在小学阶段没有下定义，它的定义出现在初中教材中。小学教学中是通过揭示长方形的主要内涵：“四条边，对边长相等；四个角，都是直角”等来描述，这便于学生对长方形概念的理解与运用，但它不是数学意义上的长方形定义。所以，说到长方形（矩形）的定义，还是以与初中教材相衔接为好。
另外，即使找到与被定义概念最邻近的属概念，但由于种差有时是不唯一的，这会导致用属加种差方式所做出的定义也不唯一。例如，若用“两条对角线相等”做种差，矩形的定义就成为这样：“两条对角线相等的平行四边形叫做矩形。”可以证明这个定义与“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”是等价的，但在小学教学中还是选择有利于学生理解又不失数学的严谨性的“一个角是直角”作为“种差”为好。
一、承前启后，明晰概念
从数学思维的角度来看数学概念的形成过程：数学概念一般是从一些原始的概念出发，通过思维的各种层次的概括而产生新概念，数学概念是逻辑思维链条中形成新概念的必要成分。这就要求在数学概念教学过程中，教师要对新旧概念有宏观上的把握，新旧概念的讲述脉络要明晰，做到承前启后，有的放矢。例如，笔者在讲授任意角的三角函数的概念时，先回顾了直角三角形内的锐角三角函数的定义，接着讲了在直角坐标系中锐角的三角函数，最后引进直角坐标内任意角的三角函数。在不同的知识层次上对三角函数所涉及角度的不同定义、形成角度的大小、三角函数的定义工具（直角三角形、直角坐标系）等进行比较，使学生对三角函数的新旧概念之间的联系和不同的应用环境有更清晰的认识，加深了其对新概念形成的理解。
二、融会贯通，深化概念
从心理学的角度来讲，人们认识事物的心理过程有感觉、知觉、观念和概念四种形态。这同样也会出现在学生学习数学概念的过程中。所以，教师在教学的过程中，应随时注意出现的相关数学概念，不失时机地给予深化，使学生对已学过的概念有进一步的认识。例如关于周期函数的定义，要让同学们理解如下关系式：f(x+T)=f(x)的真正含义，依赖于同学们对函数概念及函数值的理解，就有必要对旧知识加以复习，同时借助新的函数[三角函数：sin（2π+α）=sinα]，进一步深化学生对函数概念及函数值的理解。这种深化过程，提高了学生对数学知识体系中的知识交互应用的感性认识，使学生对数学概念的理解与掌握得到强化，数学思维的能力得到提高。
三、渗透思想，结合概念
数学思想是数学的灵魂，那么它也应该是数学概念的灵魂。而数学概念中蕴藏着丰富的数学思想，也有着丰富的素材。在教学中，渗透数学思想，就是让学生在学习数学概念的同时，认识数学知识中具有普遍而强有力适应性的本质思想，从而减少或避免学生在理解、掌握、应用数学概念方面的偏差。例如函数概念是职业学校数学中一个较为重要的概念，设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数。其中的函数思想，就是通过量与量之间的依存关系，反映客观世界的运动变化，而函数就成为解决运动变化问题的强有力的工具。在教学中渗透这一数学思想，更有利于学生对概念在本质上的把握，从而在认识、理解和解决运动变化问题时，就会自觉、准确、灵活地运用函数这一数学工具。
四、形式多样，表述概念
在职业学校数学的教学过程中，数学概念出现的形式多种多样，而对某一具体概念的表达方法，不但可以以词语形式表达，也可以借助于字母符号、图形等多种手段描述。数学语言可分为两种：一种是抽象的符号语言，另一种是较直观的图像（图形）语言，通过它们表达概念、判断、推理、证明等思维活动。用数学符号（数字、字母、运算符号或关系符号）表示数学内容，比用自然语言表示要简短得多。例如抛物线的定义是平面内到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹，如果用方程表示y=2px.总之，加强对数学概念多方位表达的教学，实践表明有助于学生对数学概念的理解。
五、“盘点”概念，系统知识
在数学的教学过程中，一方面，随着学生所掌握的知识范围的扩大，数学知识体系观念的建立和知识网络的形成日渐重要。另一方面，某些数学概念的内涵和外延在很大程度上会有相应的改变。因此，及时对所学数学概念进行总结、概括也是搞好数学概念教学的重要环节。如在学生学习过立体几何后，对“距离”这一数学概念进行“盘点”：①点与点之间的距离（定义）。②点与直线之间的距离（定义）。③两条平行线之间的距离（定义）。④点到平面之间的距离（定义）。⑤直线到平面之间的距离（定义）。⑥平行平面之间的距离（定义）。⑦异面直线之间的距离（定义）。然后，经过对比、总结、概括，得出这些概念之间的共同特征，即：它们都可以归结为点（直线外的点、平面外的点、直线上的点、平面内的点）与点（垂足）之间的距离。这样，同学们在各种条件下求距离，便能做到正确运用概念，解决问题。
关键词：通读教材；阅读资料；三个环节
中学数学知识可分成三大部分：数学概念、数学命题和数学论证。对“数学概念”的理解程度直接影响着另外两大部分数学知识的学习。关于这个认识，我们数学教师应有同感，也应付诸于数学实践，更应该围绕“数学概念”教学的程序做大量的准备工作。本文仅以“学术概念”的教学备课这方面，谈一下个人所见，仅供参考。
中学“数学概念”的备课工作，应重点解决一下两个问题：
1通读教材，广泛阅读相关资料，为“吃透”教材理解、掌握概念，打下坚实基础。
备课中，首先通读教材，是数学概念教学的必要条件，教师须自觉地依据教材、大纲进行教学。对教材中出现的知识点，表述方法等相关内容，如有异议，就必须以诚恳的态度，坚强的毅力去研究、探索，充分理解教材中的意图。例如：关于“绝对值”的概念。数学教师都有一种直观通俗的理解。所谓绝对值，就是去掉性质符号的数。如+4（或-4）的绝对值，就是去掉“+4（或-4）”前的“+”或“-”号的数4。同时教材又用黑体字定义“一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离”。这是绝对值的几何意义，而后又从代数的角度做进一步的说明：（1）正数的绝对值是它本身（2）负数的绝对值是它的相反数（3）零的绝对是是零；并利用字母表示数，用式子给出了绝对值的代数形式的定义。而以前的教材是通过联系生活的实例直接引出绝对值的代数意义，这种“代数定义”的说法教材中并没有，这是教参中“指出”的。“指出”的言外之意是指绝对值还有个几何定义。现行教材便采取的是这个几何定义。前后教材对绝对值概念的解释是不同的，但对现行教材的意图稍加思索，自然是便于学生接受和理解绝对值的概念。因此，教师在备课时应重点向学生阐明几何意义。以便学生在今后的学习中应用。
另外，对于每一个重点，难点概念，教师应尽量做到“博览群书”，也只有这样，才能真正具备驾驭教材的能力，也没有一个不是受益于广泛阅读的教师。因此，教师应广泛阅读相关资料，拓宽知识视野，注重知识积累，发挥自己的特长，以不断适应新的教育现实。
2把握住“概念教学”的三个环节
数学概念的教学在经过“博览”步骤之后，应及时转入“精取”阶段，把握好“概念教学”的三个环节。
第一：准确地掌握概念的内涵与外延。所谓内涵，就是概念的基本属性。它的本质属性无疑是核心，是区别于其他事物的根本。没有对概念本质属性的深刻理解和牢固记忆，就谈不上掌握和理解概念。例如：关于“等式”这一概念，教材上讲“表示相等关系的式子叫等式”，教材上对之并没有进一步的说明，但我们备课时一定要搞清等式的本质。它也是“判断一件事情的语句”，就其本质而言，一个等式就是一个命题，它有真假之分，等式也有成立的等式，也有不成立的等式。这一点对学生来讲更难理解，教师应下功夫向学生阐述清楚。否则会影响学生学习其他知识。
内涵的探究重要，外延的研究也不可缺少。所谓外延，是指概念所涉及对象的范围界限，两者结合起来，有主次分明之别。相互补充，才能全面实现明确概念的目的。因此在讲解概念内涵的同时，也应及时研究其外延，并对其外延不同程度的给出定义。例如：“代数式”这个概念，教材上先后从其内涵上定义了代数式、单项式、多项式，这事实上就其外延而讲它们都是整式。但作为教师应考虑到代数式分别有有理式和无理式两大类，有理式可分为整式和分式两类，这个外延分类的知识结构要牢固掌握，作为教师应站在较高的角度把握知识结构，以便为以后学生学习其他知识埋下伏笔，同时讲玩某一概念的本质属性后，应及时总结，引导学生从外延的角度进一步搞清概念之间的联系。
第二：搞清概念在其所处知识体系中的地位及作用，也就是它所属的类型，它与其他概念之间的联系等。中学数学之间的联系一般是从其外延开始，发生了纵向上的主从关系和横向上的同一交叉，并列对立等逻辑关系。这些逻辑关系的存在是不可忽视的。例如：点和圆、直线和圆、圆和圆、多边形和圆之间的关系，就是一种很系统的图形之间的位置关系。这种系统的位置关系教师在备课时若不能以系统的观点去认真备课，那么无论从哪方面来讲，都是没有吃透教材，也不会产生最佳教学效果。