关键词：不定积分凑微分法第一换元法
凑微分法是高等数学中常用的积分方法，也是一种很重要的积分方法，它既是学习第二换元法和分部积分法的基础，又是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础.虽然凑微分法很重要，但学生在学习这部分内容时就是掌握不好，究其原因主要有以下几个.
一、概念混淆，分不清凑微分和微分的本质区别.初学者经常会把凑微分和微分这两个概念混淆，这两个概念虽然字面相近，但两者是互逆运算，微分与导数相关.凑微分实际上是已经知道函数的微分，问的是哪个函数的微分，如微分cosxdx是哪个函数的微分呢？由导数公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我们把这个过程称为凑微分.
凑微分概念与原函数非常相似，而原函数全体就是不定积分，从而得到凑微分遵循的是积分原则，但形式是微分，正是这种形式上的差别让学生很难接受凑微分的实质是积分，所以在刚接触凑微分法的时候，学生经常会把公式xdx凑微分成d2x或dx.故老师在讲授新课时，首要任务是讲清楚凑微分与微分的区别，同时要反复强调凑微分的实质是积分，凑微分遵循的原则是积分规律，但形式还是微分.一旦理清了凑微分的内涵，学生在学习凑微分法的时候，就不需要死记那些凑微分的公式，只需记住积分公式，在凑微分的时候写成微分形式即可，从而减轻了学生的记忆负担.在掌握凑微分的概念后，学生在选择函数进行凑微分时，就会有更大的主动性，知道凡是可以积分的函数都可以凑微分，那么函数的选择范围就更大.
二、记不住凑微分公式.要想把凑微分法学好，在理解凑微分实质的基础上，还要熟练掌握常用的积分公式，特别是幂函数的积分公式.初学不定积分的同学一般都会背幂函数的积分公式，但不会真正使用，教师可以把幂函数的积分公式的常用形式罗列一下，这有助于学生学习凑微分法.
三、面临多个函数可以凑微分，不会选择判断.高等数学教材在讲授凑微分法时，都会通过一些简单、常见的例题给学生总结一些凑微分的公式，学生即使把这些公式背熟，碰到熟悉的会做，一旦形式发生改变，就不会运用这些公式了，究其原因就是不理解为何要凑微分.事实上，凑微分法是复合函数求导法则的逆运算，复合函数求导法则中要对内层函数和外层函数求两次导数，因此凑微分法也要做两次积分，凑微分是对复合函数的内层函数积分，积完分需要换元，故内层函数凑好微分后的形式都会在原不定积分中出现.
根据上面的讨论，凑微分法在计算不定积分的时候，选择函数凑微分的依据有两个：（一）可以积分的函数才可以凑微分；（二）选择的函数在凑微分后，微分符号d左面表达式与右面的表达式应该有公共部分.一般来说，只要凑微分后，微分号前后有公共部分，凑微分的选择和变形就是对的.
上面的两个依据只是教学生如何选对函数，函数选对了不一定能把积分算出来，因为在凑微分的时候通常要注意两个技巧.第一个技巧是凑微分的时候通常会有系数或负号产生，系数和符号一般都要放在微分号的前面，这样进行第二步换元时，换元对象非常清晰.第二个技巧是在凑完微分后有时还需要做系数的恒等变形或常数的变化.
事实上，凑微分法就是反复使用基本积分公式表，学生在学习过程中要紧扣这个关键点，第一步选择哪个函数凑微分，凑成什么形式，都必须依据积分表，不可凭空捏造；第二步微分凑好后，一定要根据凑出来的函数换元，当换元后的形式在积分公式表中找不到时，可能是凑微分对象选择不对，检查微分符号d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根据题目的具体情况对凑出来的函数做系数和常数的恒等变形；如果微分符号左右的形式没有公共部分，这时就要从第一步重新开始选择函数.
此外，学生在学习过程中还会把凑微分法和分部积分法混淆，因为分部积分法的第一步也是凑微分，但虽然两种方法的第一步都是凑微分，目的却完全不一样，凑微分法是为了让左右有公共部分，以便换元；而分部积分法则是为了把函数变成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函数是绝对不会有公共部分的，弄清楚这一点，两者就不会混淆了.
参考文献：
[1]林瑾瑜.不定积分凑微分法探析.和田师范专科学校学报，2006（41）.
[2]龚亚英.谈谈不定积分凑微分法的教学.数学爱好者（教育学术），2008（02）.
摘要：目的：为了探讨在恶性肿瘤患者体内微量元素含量的变化及意义。方法：采用原子吸收分光光度计测定了肿瘤患者组与正常对照组的血清、组织中的Se、Cu、Zn含量。结果：与对照组比较，肿瘤患者的血中Se低而组织Se高，血和组织的Cu均高，Zn无显著变化。结论：肿瘤患者出现血中Se低Cu高，治疗时应重视全身的支持疗法，适当补充微量元素如硒等制剂。
关键词：微量元素；肿瘤
TheChangeandSignificanceoftheSerumandOrganizeTraceElementSe、Cu、ZninPatient'sBodyofMalignantTumour
Abstract：Objective：Inordertoprobeintothechangeandsignificanceofthetraceelementpatient'sbodyofmalignanttumor．Method：Determinegroup，patientoftumor，andcontrastserumofgroup，organizeSe，Cu，Znin．Results：CompareingWithcontrastgroup，tumourbloodofpatientlowtoorganizeSetobehighSehave，bloodandorganizationhavehigherCu，Zndoesnothaveremarkablechange．Conclusion：Blood，patientoftumor，SelowCuhigh，shouldpayattentiontosupporttreatmentofwholebodywhentreating，supplementthepreparationssuchasseleniumoftraceelementproperly．
Keywords：Traceelement；Tumor
微量元素与肿瘤的关系已越来越受到医学界的重视。Se、Cu、Zn是人体必需微量元素，是许多重要代谢过程中酶的辅因子［1］，与细胞增殖功能的维持有密切关系。众多研究证明恶性肿瘤的发生、发展过程伴有体内微量元素的异常。为了探讨恶性肿瘤患者体内微量元素的变化及意义，我们在对86例恶性肿瘤患者测定其血清及组织的Se、Cu、Zn含量，报道如下。
1材料与方法
1.1血样本：肿瘤患者组：86例，为本院1999年6月至2003年8月住院患者。其中，男65例，女21例，年龄25～78岁，平均57.2岁。肺癌38例，鼻咽癌32例，原发性肝癌16例。对照组：212例,男169例，女43例。年龄22～64岁，平均51.3岁。为同期门诊体检健康人，妇女未服避孕药及无妊娠。
1.2组织样本：22例为胃癌、肠癌患者标本，已病理确诊。对照组22例同源非癌组织来源于医学教学用的尸体解剖。
1.3微量元素的测定：测试者空腹静脉采血3ml，离心取血清样本；组织样本采集后用无微量元素污染的干净试管盛装，先处理:用离子交换水冲洗3遍，再依次用蒸馏水、去离子水各洗3次。洗净后将标本置玻璃皿中在80℃干燥箱中烘干到恒重，用电子天平称重，在聚四氟乙烯容器内用优级纯硝酸∶高氯酸(4∶1)的混合酸消化。采用WFX-1F2B型原子吸收分光光度计测定Se、Cu、Zn，同一样品连续测定3次取均值。
2结果
2.1肿瘤患者组血清Se含量显著低于对照组，血清Cu含量显著高于对照组，两组相比有非常显著差异(P均<0．01，见表1)。
表1肿瘤患者组和对照组血清Se、Cu、Zn含量(略)
2.2癌组织中Se、Cu含量高于同源非癌胃、肠组织，差异非常显著和差异显著(P<0.01和0.05，见表2)。
表2癌组织与同源非癌组Se、Cu、Zn含量(略)
3讨论
3．1从结果表1看出肿瘤患者的血Se较正常对照低，这和文献中硒有抗癌作用相符，几乎所有类型肿瘤患者的血清Se均低于健康对照。硒作为人体必需微量元素，抗癌能力很强，其抗癌机理可能是：①降低致癌物的代谢活性。②抑制癌细胞生长。硒具有拮抗DNA损伤剂和促进DNA修复的作用。③对机体代谢酶的影响。硒是谷胱甘肽过氧化物酶（GSH-PX）重要成分。硒通过GSH-PX阻止氧自由基产生脂质过氧化反应，清除体内产生的氧自由基离子，使有害的过氧化物还原成无害的羟基化合物，防止DNA突变、细胞畸变，使机体细胞不发生变异或癌变。硒与维生素E配合还可提高抗氧化的效果。④增强免疫功能。硒对非特异性免疫、特异性体液和细胞免疫功能均有促进作用，如提高B细胞和抗体水平，协助淋巴细胞和巨噬细胞消灭细菌和癌细胞。硒可通过保护胸腺细胞膜结构和功能而直接起免疫增强作用。肿瘤患者的血Se降低导致癌症发生机率大大升高。表2结果表明癌组织较正常组织硒含量为高。可能是癌细胞对硒有非特异性的摄取能力，Se在恶性肿瘤患者体内常以二硫键的形式与含巯基的氨基酸结合，在恶性肿瘤细胞摄取大量氨基酸的同时使得Se在肿瘤组织中富积，从而造成全身癌旁组织、血液里的含量相对下降，故肿瘤患者的治疗，应重视全身的支持疗法，适当补充微量元素如硒等制剂，以增强患者的抗肿瘤能力。也有报道癌组织硒含量较正常为低的［2］，如食管组织硒含量明显减少，并且癌组织分化程度越差，硒含量越低［3］。
3．2铜是人体必需的微量元素，在体内95%血铜以铜兰蛋白的形式存在，5%与白蛋白、氨基酸结合存在，它是构成机体内多种酶的活性成分，是许多重要代谢过程中酶的辅因子，对细胞的生长、繁殖和生理功能起着重要作用，在维持生物体内的新陈代谢方面起媒介作用。但体内铜含量过多时，非但损害组织器官的结构，还可干扰重要酶系统活动。
肿瘤病人血清铜含量升高可能与血浆铜兰蛋白合成增加及分解减少有关。血清Cu与铜蓝蛋白结合后被肝细胞或肿瘤细胞表面的神经氨酸酶脱去唾液酸而在肝内降解后将Cu排出。如铜蓝蛋白降解受阻或唾液酸重结合增多均可导致血清Cu升高。肿瘤的诱因中有自由基发病学说，一些化学致癌物是以自由基形式或必须通过体内代谢、氧化还原变为活跃的氧自由基获得致癌能力。SOD是体内主要自由基清除剂，Cu是SOD活性离子成分，本实验结果提示各种恶性肿瘤血Cu和癌组织Cu含量增高，可能是由于肿瘤患者体内SOD活性增高所致［4］。
3．3Zn也是人体内必需微量元素，是细胞生长、蛋白质合成、酶生成和免疫系统所需的元素，本文结果表明其在肿瘤患者体内并无特殊性，肿瘤患者与对照组血中Zn含量并无显著差异。根据流行病学调查，锌与恶性肿瘤发病率呈负相关报道较多［5］，机理是癌细胞在快速生长代谢过程中对Zn的利用增加，另还有排泄增加及消化吸收障碍；但亦有少数呈正相关的报道，王际长等报道食管癌、胃癌组锌含量显著高于常见上消化道疾患各良性病组，即高锌与上消化道癌肿发生密切相关［6］。
血清中微量元素硒、铜、锌的水平与恶性肿瘤的发生、发展有着密切的关系。治疗上如发现患者出现低锌、低硒，适当补硒、锌，可提高患者机体免疫功能，增强防癌和抗癌作用。
参考文献：
［1］陈湘．膀胱肿瘤患者血清氧自由基的研究及意义［J］．中国内镜杂志，2000，6(3)：74-75．
［2］李子庆，蔡康荣，揭新明．肺癌及癌旁组织中微量元素含量分析［J］．微量元素与健康研究，2003，20(3)：10-11．
［3］新平，朱命炜，赵卫星，等．食管癌高发区正常人群食管组织与头发微量元素的分布［J］．肿瘤防治研究，2000，27(1)：31．
［4］陈贻华，等．微量元素铜锌硒、抗氧化酶类、维生素E与恶性肿瘤的关系［J］．实用癌症杂志，1995，12：23．
[关键词]食品添加剂；重金属；前处理；检测技术；
中图分类号：TS202.3文献标识码：A文章编号：1009-914X（2018）05-0260-01
1样品前处理方法
1.1干法灰化
根据国家有关标准，干法灰化是重金属预处理的推荐方法之一。它可以分为两个步骤：蒸，干燥和碳化的第一次无烟。最后，根据灰化后的状态，选择是否需要进一步灰化，冷却后进行恒体积试验。
然而，传统的干法消化过程繁琐、费时，密封性差，容易造成被测元素的损失，因此，为了简化研究，介绍了一个完整的炭化和灰化样方法[1]，样品润湿，直接放入马弗炉消解，取出加入一定体积的酸溶液之后，加热干燥，冷却后定容检测。该方法具有回收率高、操作速度快、消化效率高等优点。
1.2湿法消解
在常规湿法消化过程中，样品和酸、碱等溶液应混合在三角形瓶内消化。一个晚上后，在加热板上进行一系列的酸处理，直到少量的残余冷却被用来确定体积。然而，这种方法很复杂，容易产生污染，对环境有影响。由[2]优化预处理，聚四氟乙烯材料消化池的使用，样品经酸驱动自动控温电热板消解，水稻中铅和镉含量的检测，回收率符合要求，适合重金属挥发，温度高容易处理，但费时，不适合大众的出厂检验要求。
干和湿的样品，有基底的处理效果，各元素之间的干扰测量结果，为进一步提取纯化样品，在主角曹金芳[3]的山梨酸钾的测定，样品的灰化和定容后加入合适的络合剂及萃取剂是合适的。消除共存元素的干扰，恢复良好。用王惠存[4]共沉淀法，加入一定量的干/湿样品的共沉淀剂后，测定元素富集样品中铅和镉的诱捕，效果显著，有效地提高精度的方法。
第一种方法在一定程度上简化了操作步骤，但实验操作中容易引入较多的中间环节、耗时的缺陷和其他杂质，可能造成元件损失，因此需要一种更快速高效的处理方法。
1.3微波消解
微波消解技术是近十年来的快速处理技术，越来越广泛的应用，它是在高温高压条件下，通过试样，在密闭容器中的混合酸微波加热，以达到快速、完全消化的目的。
另外，尽可能的待测元素的提取与纯化，以消除基体效应，周涛红提出了用固相萃取装置测定金属元素的富集效果显著，在pH=7.3，速度为5.0m，L/min条件是适当的。
2检测方法
食品添加剂中重金属的检测方法不断优化并付诸实施，其及时性、准确性和敏感性均较好。目前，该领域应用的方法有多种，如快速着色法、原子吸收光谱法、原子荧光光谱法和电感耦合等离子体原子发射光谱法。
2.1快速显色法
2.1.1根据国家标准GB/T5009.742003，采用比色法测定食品添加剂中的重金属。当p为3～4时，样品溶液中的重金属离子和硫化氢生成棕黑色，并与同一处理的标准铅溶液进行了限值测量。但由于硫化氢的毒性，和实验的过程会带来污染，影响精度，因此对硫代乙酰胺溶液为显色剂的研究检测食品添加剂中重金属，操作方便、快捷，毒性低，满足精度要求。
2.1.2近红外紫外分光光度法测定食品添加剂中的铅（Ⅱ）。当P和H3.70～5.10之间，TTA和铅的反应（II）系统是由659.8nm三反应形成，和蓝绿色的复合物。该方法检出限为5.27g/kg，回收率在84.96%～100.5%之间。该方法具有灵敏度高、操作简单。它可用于在一些色素和香料中铅的测定。
2.2原子吸收光谱法（AAS）
原子吸收光谱法是在上世纪50年代中期，一个新的仪器分析方法，强度定量测定元素含量分析方法原子吸收共振辐射气体原子中的电子对紫外光和可见光对应的通过程序升温消除基体干扰的范围，该方法适用于样品中痕量和痕量分析。
2.2.1石墨炉原子吸收光谱法（ga-aas）石墨炉原子吸收光谱法是利用石墨材料使霧化器和样品分析由电流加热的方法。唐森富和张磊利用茶多酚、铅含量的测定方法，钛白粉，实验数据表明，有限的价值的方法，回收率在可接受的范围内，适用于微量元素的测定。在实验中，为了消除共存元素的干扰，加入一定体积的基体改进剂，效果显著。
2.2.2火焰-原子吸收光谱法（FAAS）据报道，在食品添加剂六偏磷酸钠火焰原子吸收光谱法测定铁含量的测定，检测限为0.039mg/kg，且回收率在91.1%～102.4%，符合测定要求。否则人们将氢化物发生原子吸收光谱法结合碳酸钙中铅含量的测定，通过生成气态氢化物、铅和金属在样品基质中分离和富集离子，显著提高检测限，94.8%～104.3%恢复，可以有效地消除基质的干扰，提高测量精度和灵敏度的测试结果。
2.3原子荧光光谱法（AFS）
原子荧光光谱法是基于原子（一般气态）辐射吸收的特定频率，是由高能态激发的，然后激发过程形成的光辐射发出的特征波长的荧光分析方法。
陈欣欢等人建立了原子荧光光谱法测定食品添加剂焦磷酸钠中痕量砷的方法。在选定的检测条件下，检测限为0.4克/千克，回收率为98%～100.5%。该方法具有较好的灵敏度和准确度高。邓泉道和其他氢化物发生装置和原子荧光光谱法结合相应的屏蔽剂，实验回收率：101.8%～102.2%砷，汞102.5%～106%，可以有效地消除金属干扰共存。
原子荧光光谱法中，大量基体元素不能进入雾化装置，不仅光谱干扰小，而且化学干扰小，灵敏度高，准确度高。然而，随着食品添加剂中重金属的需求量越来越大，检测方法越来越方便、快捷、高效。
2.4电感耦合等离子体-原子发射光谱法（ICPAES）
电感耦合等离子体原子发射光谱法（ICP-AES）是一种以等离子体为激发光源的原子发射光谱法。根据元素、特征、波长和强度对相应元素进行定性定量测定。
方法采用电感耦合等离子体发射光谱法测定食品添加剂DL-酒石酸中微量金属元素的含量。样品消化和射频发射功率1200W处理的0.60ML/min雾化器的流量，90%～96%的回收率，以满足测试要求。研究发现，可以得到更好的结果通过增加射频发射功率和气体流量。这表明，电感耦合等离子体原子发射光谱法可以实现快速、高效的进行测试的各种元素的检测。和微量元素的检测分析是合适的。于莉还可用于食品添加剂盐酸中汞、砷、铅的测定。
2.5电感耦合等离子体-质谱法（ICP-MS）
ICP-AES法原理与此方法基本相同，具有操作方便、样品处理简单、分析时间短、准确度高、灵敏度高、精密度高、重复性好等优点，被广泛应用于痕量元素分析的检测。
总结
食品添加剂中重金属的检测预处理方法和分析方法基本上能满足当前的要求，微波消解法简单、适用性强；ICP法分析时间短、准确度高，已成为今后发展的方向。然而，随着食品工业的发展和社会对食品安全的日益重视，有必要拓宽分析方法的适用范围，发展更有效、更准确、更环保的分析手段。
参考文献
[1]彭敏.ICP-MS法测定食品添加剂氢氧化钠中五种重金属[J].东莞理工学院学报，2015，22（03）：67-70.
关键字：内域；数值计算；有限元
中图分类号：TU315.3
1.引言
虽然目前技术和计算设备发展十分迅速，计算能力不断提高，一些大型通用有限元软件已经具备十分强大的分析功能，它解决了地震反应的许多实际工程结构分析的问题。但对于一些大型复杂体系而言，空间离散的自由度数目非常庞大，数值稳定性的限制要求时间离散的步距也不能过大。这样，开展结构地震反应分析时所需要完成的时空四维数值计算的工作量将变的很大。在工程设计中，需要分析各种工况下结构的地震反应行为，对比不同的设计方案并做出优化决策，从而要求在设计期内多次完成结构的地震反应计算。在数值精度的基础上，保证系统的稳定和提高结构地震反应分析方法的核心计算效率。研究高效率的大型复杂体系地震反应数值分析方法，减少计算费用仍然是非常现实的考虑，它具有重要理论意义和实用价值。
地震反应分析的数学物理模型就是波动方程。波动数值模拟包含两个部分，一是对人工边界的数值模拟，二是对内域的数值模拟。这里仅讨论对内域的运动节点的数值模拟问题。
现有的内域波动的数值模拟方法，按能量等效式，可划分为三类。一类是空间有限元方法。所谓空间有限元方法是指的空间用有限元法进行离散，而使用一个直接的方式离散时间。第二类是时空有限元方法。这里是指对时间使用和对空间一样的有限元法方式离散。时空有限元的时空域是空间有限元的空间域在时间域上增加了一个时间维度，区别只是处理时间域的先后上，空间有限元是先处理空间问题，然后处理时间问题，而时空有限元是同时处理时间和空间的问题。第三类是微分求积方法，是直接的方式对空间和时间的离散。下面分别阐述这三类方法的应用发展过程――
2.空间有限元方法
在1956年，有限元的概念首次被Turner等人提出，最早应用于弹性力学平面应力问题上。1963年，Besseling、Melosh和Jones等人发现有限元法和基于变分原理的里兹法是等效的。有限元法在处理连续介质问题上比普通里兹法更有优势。随后几十年，在解决复杂工程问题上，有限元法得到广泛的应用。
波动方程是时空耦合的，基于广义Hamilton原理的波动有限元方法通常也是时空解耦的数值过程。传统有限元方法的离散过程通常包含两步，先进行空间离散，将微分方程转化为常微分方程，然后对时间进行离散，即在时域对常微分方程进行数值积分。由于时空耦合的数值过程包含过多的自由度，求解这类方程在实际工程中很难实现，建立时空解耦的波动数值分析方法是这方面重要的工作。最直接的做法是实现空间及时间域的解耦，通常是只建立空间的有限元离散方法，而时间采用直接的假设，最常用的是采用逐步积分的方式进行离散。
逐步积分法简单来讲就是把最终速度和位移由它们的初始值和一个积分表达式来表示。加速度历程的积分决定速度的变化，速度的积分决定位移的变化。换句话说，加速度控制了速度的变化，因而可以由这一步向前获得下一时间步。解答这类问题，第一步先考虑时间步内的加速度问题，假设加速度是如何变化的，依据加速度和位移的关系，得到关于时间步的递推公式。所谓的Euler-Gauss法就是假设在时间间隔内加速度为常数。而Newmark[1]法是加入系数从而可以改变初始和最终加速度的权重从而得到加速度的一种方法。Wilson-[2]方法是假定在时间步距内加速度为线性加速度的一种数值方法，用内插公式得到体系在下一刻的运动。α方法[3]是在Newmark方法的基础上，通过修改结构动力方程的时间离散形式得到的。Chung和Hulbert发展了一种无条件稳定的隐式广义α法，它由三个参数控制数值损耗。Runge-Kutta[4，5]方法是在一个时间步距中内插若干计算点，利用这些计算点上函数值线性组合来代替函数的泰勒展开中的高阶导数，从而提高精度阶。不同于两步信息预测，线性多步法[6]发展了多步信息来预测下一步，从而获得了更高的精度。
逐步积分是最主要的时域积分方法，而它最常规的做法是差分法。时域有限差分法（FiniteDifferenceMethod，简称FDM），是地震波传播模拟最广泛被使用的一类方法[kelly―Marfurt，1990][7-10]。有限元差分是将微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将微分方程转化为代数形式的差分方程。
由微商和差商的定义可以知道，微分的有限形式是差分，而导数的有限形式是差商。而微分和导数是以极限形式表示。数值计算方法导数可以用差商的自变量趋近于零来代替，换句话说，位移对时间的求导可以用有限差分的方式得到，位移的一阶导数是速度，二阶导数加速度。当世界步距为等步长，得到中心差分。差商代替微分方程中的导数，就可以得到微分方程的有限差分形式。。较之传统有限元法，虽然在定义几何结构上不够灵活，但时域有限差分法具有显式计算的优势，计算效率高，计算精度高于显示有限元法。这些方法的缺点是精度不高，只有一阶或者二阶精度，难以模拟高频问题，这类无法避免算法阻尼，从而形成较大的误差。
为了克服低精度的问题，很多高精度的数值积分方法相继提出。不仅仅四阶，五阶精度，甚至更高精度的数值积分方法处在发展之中。Golley[11]为了得到三阶精度的格式，对时间域采用高斯点作为配置点。在哈密顿变分原理的基础上，Riff和Barch[12]采用3次多项式构造插值函数，得到了有条件稳定四阶精度数值方法。Argyris[13]等在前人的基础上，采用Hermitian插值，得到无条件稳定四阶精度数值方法。Kujawski和Gallagher[14]从另外一个角度，利用广义最小二乘法，在无阻尼结构中，构造了一种四阶精度的无条件稳定积分格式。Tarnow和Simo[15]利用二阶精度算法的结果，在此基础上缩短时间间隔，构造了一种四阶精度算法。钟万勰[16-19]在1994年提出了精细时程积分法。在保守系统下，积分结果保持系统守恒量不变。1995年在之前工作之上，钟万勰提出了子域精细时程积分法，提高了计算效率，使工作量大大减小，存储量大幅减小，为精细法应用提供了基础。2000年，顾元宪[20]提出了增维精细积分法，改进了矩阵的运算，提高了精度。但局限条件较多。2004年，汪梦甫[21]利用精细积分方法基本原理，采用高斯积分方法，建立了更新精细积分方法，这种精细方法适应度高，为得到了广泛的应用提供了条件，并且提高了精度。理论上汪梦甫分析了精细方法得到任意精度的可能。2009年，富明慧[22-25]在汪梦甫研究的基础上提出了高效高精度广义精细积分法。
这类方法的困难在于不容易构造精度较高的时间离散模式，并且空间有限元在时域上每个时间步逐步推进，因而会产生误差累积[26-32]。
3.时空有限元方法
时空有限元最早由J.TOden，I.Fried和J.H.Argyris等人提出。利用哈密顿原理建立关于时间边界的变分原理。几十年来，在各个领域得到全面的发展。在波动问题，动力问题，流体问题等方向得到广泛的应用。
传统的数值方法假定时间和空间是相互独立的，这样的假定广泛应用在实践当中并且在数学上很好理解。但是，使用上述技术同时也导致了数学上的困难。因为有用的信息可能通过速度在结构传播，而没有分离的时空格式能规避这种类型的数值困难。这就要求对时间的离散和对空间离散一样使用有限元。例如，当结构是三维时，这种格式需要四维的维度来表示。从而需要对时间和对空间使用相同的离散方式。空间有限元对时间和空间分别离散，空间节点形成的网格只能处在同一时间下，形成的是规则网格。时空有限元同时对时间和空间进行离散，理论上可以把网格划成任意形状，不必考虑相同的时间值，可以灵活的划分。有限元方法区别于其它方法在于它利用能量等效原理将偏微分方程进行积分。得到方程的弱形式。恰当的变分形式是有限元是否能够利用能量等效的关键。而时空有限元能否成功取决于能否找到对应的变分原理。
R.Riff和M.Baruch等人建立了一种能同时求解所有变量的时间有限元，这种有限元格式借鉴了空间有限元，把整个时间域看作是空间的延续，从而能够求解不同时刻的变量。冯康是提出罗恩在冯康的基础上，完善了哈密顿型变分原理，发展了非传统哈密顿变分原理。罗恩对比等价的正则方程和相空间变分原理，认为即使是等价的，但由于形式的不同，产生的算法并不一定会有相同的效果。其结果就是相空间变分原理计算效率更高，也更接近物理问题的本质特征。沿着这个思路，罗恩建立了非传统相空间哈密顿变分原理。刘世奎对哈密顿原理进行了推广，构建时间边界条件，建立了有两个参数的广义哈密顿变分原理，完成了从单一变量向多种变量的转变。卓家寿等人在哈密顿体系下，推导了几种变分原理的等价形式。罗恩在此基础上推导了类变量广义哈密顿变分原理，它包含了所有的条件。基于这种变分原理提出在时间子域上进行五次样条插值的时间子域法。2007年钟万勰[38]发现时空有限元可以更高效的解决边界问题和多尺度刚度问题。2013年朱宝[39]在钟万勰的基础上进一步研究多尺度和边界问题，对其稳定性进行了研究。
获得高阶精度，只需要提高多项式基函数的次数，从理论上来说，时空有限元可以获得任意精度。空间域增加时间域之后，单元的几何性质简单，避免了空间有限元的复杂边界。让传统的有限元得到更广的应用。是一种有很大发展空间的数值方法。
4.微分求积方法
Bellman和Casti[40]在1971年提出微分求积法的基本原理。此后，微分求积法因为原理简单，广泛应用在工程问题中，微分求积法得到快速发展。
微分求积法即DQM方法，本质上来说，函数和它的导数在给点节点的值用全部节点的函数值乘以系数并求和来代替。从而让微分方程可以转化成关于节点函数值的一组代数方程组。由此可知，DQM是一种数值技术，它通常被用来解决初值和边界问题。从本质上来说，DQM是特殊的一种加权残值法，而且是高阶的有限差分法。DQM方法相对有限元方法而言，并不需要变分原理就可以求解微分方法。
从微分积分法的原理出发，可以发现影响数值精度主要由两个因素构成。一方面是权系数的值，另一个方面是选取合适的网格离散点。其中网格离散点的选取和假设试函数的模式可以确定权系数，从另一个角度来说，试函数的假设和网格点的选取是决定精度的关键因素。从而研究人员也沿着这个思路对微分求积方法进行了探索。利用多项式是有限元试函数选取的基本思路。Bert和Wang[41]为试函数来求权系数，此时构成线性方程组的系数矩阵是勒得蒙矩阵。但由于当离散点数目增多以后，勒得蒙矩阵会出现病态。所以出现很大的误差。后来。Quan[42，43]用采用了Lagrange插值，得到了微分积分法一阶和二阶精度的公式。Bert和Striz[41]建立了HDQ方法，采用用不同于多项式的谐函数作为试函数，开阔了研究思路。由上可知，试函数的选取并不是单一的，可以从多个角度来选取。不仅是谐函数或者多项式，甚至是指数函数，对数函数等初始函数都可以作为试函数进行研究。根据需要选择混合初始函数来得到试函数是值得探索的方向。网格点的选择方面，研究发现一些问题对节点选取是很敏感的，等距网点因为使用方便而被先采用，但是结果发现得到的解不够理想。其实真实的状况让均匀网格模拟显得不够合理，发展非均匀网格更可能得到高精度方法。Bellman[40]就用勒让得多项式零点进行了研究，发现用其作为网格点提高了精度。在这启发之下，Quan等研究了切比雪夫多项式零点，并且用之与其它正交多项式作了对比，发现切比雪夫多项式零点更有优势。此外，微分求积的研究的方向是更加具体的研究，Bellman[44]用微分求积法应用到初值非线性偏微分方法得到高效精确的解法。在多维问题上，微分积分法也得到了应用，Civan[45]得到了多维积分微分方程。Bert[46]首先将这种方法用到结构力学问题的求解。2001年在DQM法则的基础上，Fung[47，48]建立了一种不同于边值问题的动力微分方程解法，解决了初值问题的动力微分方程。并研究时间网点选择方式对数值精度和稳定性的影响，提出了一种高精度的时间网格离散方法。
微分求积法虽然发展的历史比较短，但是由于这种方法原理简单，精度高，计算效率高，处理数据方便等优点。在工程领域有广泛的应用。
5.结语
有限元方法一直在数值模拟中很占有重要地位，这种思想在理论研究和实际应用中发挥着很重要的作用。以有限元原理为基础，发展的新方法让数值计算展现出新的活力。但是数值模拟是一门深奥的学问，在理论上和实际应用中还有很多不完善的地方，需要克服的缺点还有很多，本文作者仅仅就自己所涉及的研究领域做了一些简单的论述。
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不定积分在高职阶段的解题方法大概可以分为以下几种：直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法等。
1、直接积分法
利用不定积分以及原函数的定义：f（x）的所有原函数称为f（x）的不定积分。也就是说，只要能知道哪个函数的导数等于被积函数，不定积分也就求出来了。例如：求∫dx。
因为知道arctanx的导数等于，只要在后面加上任意常数C就可以得到被积函数的全体原函数，所以∫dx=arctanx+C。这里必须注意一点，用这种方法求积分一定要求出被积函数所有的原函数，而并不是在某一个原函数后直接加上任意一个常数C就代表所有原函数。例如：求∫dx。考虑到（Inx）'=，如果简单的认为∫dx=Inx+C就错了，因为In（-x）'=•（-1）=，因此In（-x）也是的一个原函数，而In（-x）是Inx加上任意常数所得不到的，所以∫dx=Inx+C。有的教材上说检验一个不定积分结果求的是否正确只要对结果求导就行，如果求导以后得到的是被积函数，则正确。其实这种说法并不严格，上述例子就是一个反例。因此，并不能说对结果求导就能验证一定正确，只能够说如果对结果求导得到被积函数并不一定正确，而如果得不到被积函数却一定是错误的。对结果求导这种方法不能来验证正确，只能判断是否错误。
2、第一类换元积分法
第一类换元积分法又称为“凑微分”法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无法动手。下面看一个例子：
求∫dx。
本题如果不用“凑微分”的方法，几乎是无法解出来的，即使是知道用“凑微分”的方法，但不知道该如何去“凑”，仍然无济于事。使用此方法必须对常用的“凑微分”公式非常熟悉。就此题而言，由于被积函数分母中有x2项，而分子中有x项，联想到“凑微分”公式中xdx=d（x2），会出现x2项，所以可以考虑此思路。但此题与一般的“凑微分”又有所不同，由于分子和分母都是多项式，如果要“凑微分”必须分子或者分母整体“凑”，对被积函数的分子参照分母进行“凑微分”：因（x2+x+1）=（2x+1）dx，所以原式可以写成：∫dx=∫dx=∫=∫=In（x2+x+1）+arctan+C
从上例中可以看出，用“凑微分”法必须要对“凑微分”公式非常熟悉。
3、第二类换元积分法
第二类换元积分法又分为根号换元法和三角换元法两类，对于被积函数中有根号而又无法用“凑微分”法解决的题目，可以考虑用根号换元，例如：若被积函数含有，5等等，这类题目可以令根号下的因式为t，再用其他积分方法来解决。而三角换元则是利用sin2x+cos2x=1或者1+tan2x=sec2x这两个三角恒等式来变化。例如被积函数中含有,等的积分都能利用上述两三角恒等式来进行换元。此类题目最后计算结果往往都较为复杂，使用此种换元法要牢记最后结果中要将变量用换回来。
4、分部积分法
分部积分法是根据两个函数乘积的导数的公式推倒而来，公式为：∫udv=uv-∫vdu。用分部积分法解题时，公式中的u和v并不是随意选取的，而要遵照以下两个原则：
（1）v要容易求出；（2）∫vdu要比∫udv更容易求出。而在实际的使用过程中，分部积分法通常都是和换元积分法结合起来使用的。
上面介绍了不定积分的多种求法，只有熟悉了这些基本的求法，才能够比较熟练的求出其他技巧性更强的积分。另外，需要指出的是：由于初等函数在其定义区间内连续，因而其原函数一定存在，但是原函数并不一定就是初等函数，例如，，等，他们的原函数都不是初等函数，因此不能用上述的几种求积分的方法来求它们的不定积分。
参考文献：
[1]吴纪姚漆毅.高等数学（工专）.北京：北京大学出版社，2006年
（作者单位：江西南昌赣江职业技术学院）
传闻
传60亿社保基金或抄底A股
全国社保基金理事会在5月上旬向去年年底新增的8家基金管理人划拔了总计100亿元的资金，其中60亿元资金将抄底A股。
正说：交付资金意味着社保基金已经认同目前的点位，管理人获得资金划拨后就会进行投资，无论是社保基金对投资时点的选择，还是新增百亿资金激活流动性，对资本市场都将产生正面影响。
传美国拟提名利普顿出任IMF第一副主席
知情人士表示，美国正考虑提名白宫顾问利普顿接替利普斯基，出任国际货币基金组织(IMF)第一副主席。
正说：由于卡恩现在无法行使领导权，国际货币基金组织(IMF)需要为领导层的稳定制定计划，需要填补这种权力真空，这一点非常重要。
传空中网王雷雷被协助调查
中国移动的反腐风暴还没有停息。据悉，该公司数据部副总经理马力涉嫌重大违纪正在接受调查。而空中网CEO王雷雷也可能卷入其中。
正说：目前，中国移动内部正在大力整顿四川移动无线音乐基地。而来到空中网之前，王雷雷担任TOM在线CEO，当时TOM在线主要负责四川音乐基地音乐版权的集成等业务。
传微软收购诺基亚手机
就在微软与诺基亚宣布达成合作伙伴关系的三个月，微软斥资85亿美元收购Skype一周之后，网络上又传出微软将收购诺基亚手机部门的消息。
正说：把微软收购Skype、诺基亚手机以及自身的windowphone手机系统结合起来分析的话，移动互联网，也许才是微软最终的目的。
投资日历
5月23日
交银制造基金5月23日发行
国内首只装备制造业主题基金交银施罗德先进制造基金，将于5月23日通过农行、建行、交行、招行等各大银行和券商销售。该基金将通过重点投资与装备制造相关的优质企业，把握中国产业结构升级的投资机会。装备制造业主要包括重大先进的基础机械，即制造装备的装备，以及国民经济各部门科学技术、军工生产所需的重大成套技术装备。
上海医药H股发行价23港元
上海医药H股IPO发行价揭晓，为每股23港元。由此推算其募集资金总额将有望达到22.6亿美元，成为近五年来全球最大制药类企业IPO，也是亚洲史上规模最大的医疗保健类企业IPO。按计划，上药H股预期于2011年5月20日在香港联交所主板上市交易。
正海磁材拟发4000万股
正海磁材(300224)招股意向书。公司本次计划发行4000万股，发行后总股本为1.6亿股。该股将于5月23日实施网上、网下申购，并将在深交所创业板上市。烟台正海磁性材料股份有限公司一直专注于高性能钕铁硼永磁材料的研发、生产、销售和服务。高性能钕铁硼永磁材料可广泛应用于节能和环保领域，属于国家重点鼓励发展的新材料和高新技术产品。
5月24日
克莱斯勒计划完成再融资交易
据美国克莱斯勒汽车公司向银行公布的备忘录显示，该公司计划在5月24日完成偿还政府75亿美元援助贷款的再融资交易。此次再融资交易包括一项规模为15亿美元的信贷额度，一项规模为25亿美元的8年期与10年期债券，以及一项针对机构投资者的35亿美元6年期担保票据。
欧盟5月24日开审微软反垄断上诉案
微软在欧盟的反垄断上诉案将于5月24日听审。此前欧盟向微软开出8.99亿欧元(13亿美元)罚单，微软对此提出上诉。欧盟颁布反垄断法已经50多年，微软是首个面临罚款的企业。
嘉能可两地上市香港集资171亿
全球最大商品交易商嘉能可(Glencore)计划于英国伦敦及香港上市，据销售文件，嘉能可将于5月24日在伦敦挂牌。嘉能可拟港英两地上市集资90～110亿美元(约702～858亿港元)，是次集资中在英国第一上市集资68～88亿美元(约530.4～686.4亿港元)，在港第二上市集资22亿美元(约171.6亿港元)，而在香港公开发售规模介乎总集资规模的2.5％～10％，有10％超额配股权。
5月25日
双星新材拟发行5200万股
双星新材(002585)招股意向书。公司本次拟发行5200万股，发行后总股本为2.08亿股。该股将于2011年5月25日实施网上、网下申购，并将在深交所中小板上市。江苏双星彩塑新材料股份有限公司主要从事新型塑料包装薄膜的研发、生产和销售。主要产品为聚酯薄膜、镀铝膜及PVC功能膜等新型塑料包装薄膜，是国内少数能够规模化生产8μm厚度以下聚酯薄膜的生产企业之一。
全球重点国家或地区5月23日至5月25日重要经济事件一览
东京――日本央行公布月度报告。5月23日
维也纳――欧洲央行(ECB)管理委员会委员暨奥地利央行总裁诺沃特尼、欧洲央行执委会成员斯麦吉和欧盟经济暨货币事务执委雷恩在一个活动上发表演讲。5月23日
巴黎――经济合作暨发展组织(OECD)年会。法国总理萨科齐、德国总理默克尔和美国国务卿希拉里・克林顿出席。5月24日
华盛顿――国际货币基金组织西半球事务部主管NicolasEyzaguirre在拉美内部对话会议上讲话。5月24日14：00
东京――日本央行公布4月28日货币政策会议记录。5月25日
悉尼――澳洲央行副总裁RicBattellino讲话。5月25日23：15
斯德哥尔摩――瑞典央行风险调查报告，题为“瑞典市场人士对瑞典固定收益和外汇市场的风险和运作的观点”。5月25日07：30
罗切斯特――美国明尼亚波利斯联邦储备银行总裁柯薛拉柯塔讲话。5月25日17：30
价格
需求前景忧虑原油继续走低
马光恩
纽约商业交易所(NYMEX)原油期货17日收盘继续走低，美国经济数据疲软引发市场对原油需求前景的担忧。
NYMEX6月轻质原油期货结算价下跌46美分，收于每桶96.91美元，跌幅为0.47％，为2月22日来最低结算价。ICE7月交割的北海布伦特原油期货价格收盘下跌85美分，收于每桶109.99美元，跌幅为0.77％。
美国疲弱的经济数据让原油市场投资者担心美国经济前景及原油需求前景，油价承压。
美国4月份工业产值与前月持平，经济学家此前预计为上升0.3％。
商务部公布，经季节性因素调整后，美国4月新屋开工数环比下降10.6％，折合成年率为52.3万套；4月新增建筑许可环比下降4.0％，折合成年率为55.1万套。数据表明，美国房地产市场依然复苏乏力。
此外，欧洲债务危机阴霾不散，投资者依然担心希腊等国的债务问题，市场谨慎情绪增强。
而欧元依然脆弱，一旦下跌就会导致强势美元，从而对油价构成不利因素。目前交易商等待一周库存数据，预计5月13日当周美国原油库存上升。
调查显示，预计5月13日当周原油库存增加100万桶，馏分油库存上升70万桶，汽油库存增加80万桶。
上海燃料油期货17日低开低走。主力1109合约收盘4926元／吨，下跌19元／吨。