【关键词】数学章头图；教育属性；核心素养
任何变化的事物背后，总有不变的物质支配着，这是科学与哲学的认识信念.生物学关心遗传因子，化学关心元素，物理学关心基本粒子，哲学关心普遍的规律[1]，“章头图”聚焦教与学事物的总体属性.《义务教育课程标准教科书数学（苏科版）》从结构观出发，认证本套教材每章的开头部分设置：章头图，章头语，章头问题，本章内容的概述.这些结构性元素投射了章节、单元、学段内容的主题线索及其内部关系的逻辑焦点，而“章头图”居于思想统领地位，因此研究章头图更具现实意义和前瞻影响，突出素养教育的逻辑目标.
仔细说来，从结构主义学派[2]的数学流变性出发，可以把教科书的“章节内容”近似地看作是一座城市，城市中心的巨大建筑物，就好比是章头图；城市的郊区正在不断地向外伸展，这就好像是尚待开发的章头问题；同时，市中心又在时时重建，每次都是构思清晰的计划和合理的布局，在拆毁掉旧的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，这就是章头语以及章内容概述的价值指向.
章头图的认知地位支配着章序言立意的维度特征，关乎知识技能、关乎数学思考、关乎问题解决、关乎情感态度、更关乎审美选择与素养建模.在这里，着力研究章头图与审美直觉属性、课程目标属性、问题解决属性以及学科素养属性的内部关系，为有素养的教与学提供形而上的“思想”和形而下的“器识”，进一步落实数学素养教育的可能目标.
1章头图与审美直觉属性
审美直觉是数学创造的心理基础，而章头图是诱发直觉的客体对象，是创造行为发生的依附载体.为此，章头图与审美直觉属性发生了不可忽视的关联.Hadamard在《数学领域的发明心理学》[3]一书中，从无意识直觉的选择作用出发，详尽论述了数学直觉的心理要素，指出数学直觉的本质就是“美感”或“美的意识”.数学教科书章头图是直觉审美的有效载体（运动变化的摩天轮等），是学生视觉思维活动的媒介，一直发挥着无意识渲染美的实体作用.就这个意义上说，章头图所蕴含的美的规律，叠合成美的本质与审美直觉的自由度具有内部关系一致性.
于此说来，出于直觉思维的整体性特点[4]，数学美常蕴藏在数学学科的基本结构之中，蕴藏在数学对象的相互联系之中，蕴藏在数学方法的共通之中.章头图作为学科结构的基本成分（测重天平等），起到聚焦主题的导航作用；作为研究对象的一种具体性抽象（梯子靠墙问题等），承担教学目标的领航作用；作为数学方法的概念运演形态（拼图・公式等），突出美的直觉的选择性特征.按照康德的审美经验论来说[5]，审美经验不是由单纯的感觉唤起的，也不是由简单的判断所唤起的，而是由二者共同作用，以及足以激发二者发生共同作用的事物唤起的，而且只能由其结构适合于审美本性的事物所成就.在研究者看来，这里的“事物”可以看作是章头图的替代概念，至少具有三层含义：一是图形事物本身的结构应具有相称、和谐、有序等可感知美的特征；二是图形事物的容含能集中反映章节教学主线，投射了一种选择美；三是图形事物的内部关系能表征、解释章节核心概念的本质，流动一种理性思维的自由美.
基于实证研究的需要，在这里，不妨从章头图“摩天轮”的审美作用说起，揭示章头图与审美直觉属性的内部关系，并以此示范章头图教学的审美力量.
苏科版九年级《数学》上册封面以“摩天轮”为主题图，突出了“圆”这一章在教材中的重要地位（圆是初等数学学习的重要内容，能为后继高中段学习提供思维地气）；“第2章对称图形――圆”的章头图也是以“摩天轮”为主图，形象地突出圆的概念特征（一中同长以及旋转不变性），也能为后续抽象出“垂径定理”（垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧）埋下思维的伏笔.苏科版九年级《数学》下册“76节用锐角三角函数解决问题”“问题2”的几何背景也是以“摩天轮”为认知载体，突出引导学生经历从生活到数学抽象的特征，利用学生学过的锐角三角函数的相关知识解决实际问题的全过程.鉴于章头图（摩天轮）的承前启后和承上启下作用以及审美体验功能，平常教学中要重视章头图的使用，并尽力用好，使其发挥应有的审美教育功能.
从审美的角度来说，用好“摩天轮”这一章头图，需要在圆概念起始课前设置“微型数学活动课”，一般20分钟左右.具体表现出三个结构层次：首先是让学生观察摩天轮的结构图，研讨交流各自的发现，指出其属性特征，并说明自己觉知到哪些美感；其次是让学生在观察研究摩天轮概念图的基础上，提出可能研究的问题以及可能获得的结论；最后是让学生借助课本，经历水平抽象（生活数学）和垂直抽象（数学数学）的思维过程，形成垂径定理的产生式系统（在O中，若直径AB垂直弦CD于P，则有PC=PD，弧AC与弧AD、弧BC与弧BD分e相等）以及形成静态圆和动态圆的概念集合观.如果说“发现属性”的过程就是审美直觉作用的过程，那么提出问题的过程就是直觉选择美的过程，则概念产生式形成的过程是审美理想实现的过程，终于章头图的思想统领地位的确立和审美水平的线性上升.事实上，章头图的“教学现实”不容乐观.日常研究章头图教学作用的不多见，间或研究是源于展示课、赛课以及示范课的驱动.因此章头图的美学价值一惯流失.建议教研部门要在评价政策上进行倾斜，切实使得“用好教材”“用好章头图”成为审美行动.正如“科学结论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它来判断科学方法的合理性”[6]一样可靠.
2章头图与课程目标属性
课程目标是教学目的的替代概念，是现代教育评价学[7]研究的对象.即“以教育为对象，对其效用给予价值上的判断”.课程目标始终支配着数学教育实施方向和具体教学目标的走向，“章头图”作为数学教育研究的一种形象载体，是完成课程目标的一种客观对象，又被课程目标的容含框架制约着，因此研究章头图教学有助于课程目标的定向落实，进而有利于数学素养的沉淀和科学精神的养成，突出“人学”教育发展观.
美国中小学数学教育的目的在于培养学生的数学价值观、自信力、思想交流力、思维力和问题力，并用动词理解（understand）、解释（interpret）、发展（develop）来描述；英国2008（QCA）最新颁布的数学课程标准最终目标[8]：成功的学习者（successfullearners）、自信的个人（confidentindividuals）和具有责任心的公民（responsiblecitizens），并用解决（solve）、发现（find）和探究（explore）来刻画；我国的数学课程教育目标在于培养学生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）和“四能”（发现和提出问题，分析和解决问题），用经历、体验、探索来表征过程性目标.不难发现这些素养性目标属性都带有强烈的实践性特征，反映课程教育对公民的“社会参与维度”[9]这一培养方向（实践意识实践行为实践意识），数学章头图是学生开展实践学习的重要载体，有助于在地性数学观的正向形成.
就目标属性得以实现的本身来说，无论是数学价值观、成功的学习者抑或是“四能”的发展都需要学生拥有自觉研究的意识.作为实践的数学课程（旗杆高度的测量等），“章头图”是研究性学习的最好载体.因此，章头图是课程目标的具体化，研究章头图教育属性的过程，就是课程目标素养得以层级的过程.
就目标动词的行为功能来说，“发展”“探究”“体验”都带有“数学自我概念”[10]（学生在学校情境中形成的，对自己在数学学业方面的特长、能力和知识形成的比较稳定的认知、体验和评价）的领导意识，支配着人人都能获得良好数学教育，不同人在数学上获得不同发展的课程理念.教学目标是课程目标的下位概念，可分为学科总目标、单元教学目标、课时教学目标.而章头图恰好能够匹配的反映这些层次性目标的支配属性，为此，研究实施章头图的课时目标对课程目标的总体发展，无疑具有“第一哲学”的教育意义.
不妨举例说明章头图与课程目标属性的实证关系.苏科版九年级《数学》上册“第1章一元二次方程”是以“梯子靠墙”为章头主图，反映一元二次方程与现实生活的密切关系，突出一元二次方程是刻画现实问题变化关系的一种心理模型.“梯子靠墙”问题是本章认知的思维导图，用好的前提是定位载体承载的目标体系，以及确立目标问题的问题反应块.具体分解过程如下：课时目标，一是在探索实际问题关系的经历中感受用方程的意义；二是在问题解决中体验方程建模的过程；单元目标，感受方程是刻画现实世界的有效模型，体会一元二次方程解法所蕴含的“转化”思想；课程目标，从已有的经验出发，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、讨论结果意义的过程.
基于“梯子靠墙”目标体系的实施，研究者对该章头图的可用性进行组织拓展：首先是让学生思考长为5米的梯子斜靠在墙上，你能提出哪些问题以及这样思考的依据；其次是让学生探讨“梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1米”，可获得怎样的数量关系，并寻求结论的合理性；再次是让学生交流“梯子的顶端下滑x米，则梯子的底端移动的水平距离的可能值？”为什么？最后是让学生通过尝试运算，演化出上述应用问题的解答方案，并指出获得答案的途径以及推理的方法根据.在这里，可以把“探讨和交流”的认知行为，看作是课时目标得以实现的具体表现，则单元目标还应包括尝试运演和自觉探寻依据的科学认知精神要素，那么课程目标还要涵盖提出问题力的监控与测量，方能落实人学教育课程素养观.
事实上，“梯子靠墙”问题不是“一元二次方程”建模的专利，还可以作为“数学实验：折纸与锐角三角函数”的前概念（长度为2米的梯子斜靠在墙上，其倾角α为60°，则梯子底端到墙面的距离是多少？）和后概念（要使上述梯子靠墙的倾角变为45°，则梯子底端前方1米远的地方有栅栏，是否需要拆除？为什么？）反映了章头图的多元认知功能.
3章头图与问题解决属性
问题解决（problemsolving）属于心理学习论范畴，是学习者将原有的概念和规则加以综合，在新情境中施加应用并获得新的认知结论的过程.信息加工心理学认证“问题”是信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激反应情境.章头图蕴含丰富的概念信息，为问题解决提供阶段性体验，有助于创造性学习行为的发生.根据章头问题的起点、目标和允许操作的不同，可以⑵浠分为界定不明确问题（ill-definedproblem）和界定明确问题（well-definedproblem），前者属于常规性问题（routineproblem）（投币实验等离散型章头问题），后者属于非常规性问题（海腾戏水条件型章头问题）.
数学算理学中的整式运算、因式分解、方程解法等问题都可以通过模仿获得技能途径，属于常规性问题；而那些不可以通过模仿获得作答路径的逆概念、逆思维、反证法等问题行为，属于反常规性问题，中高考压轴题往往突出这一特征，能很好的考查考生的思维精准度.
鲍尔和希尔加德《学习论―学习活动规律的探索》（1981）[11]一书，论述了碰到新的陌生问题时，学习者是怎样解决的呢？刺激反应学从新旧经验的内部关系出发，认证学习者将其过去经验中与新问题有关的行为集中起来，抑或是按照新情境与以前遇到的情境的相似方面做出反应.假如这些反应不能使问题获得解决，学习者便会尝试错误，从众多的行为中发出连续的反应，直至问题得以解决.上述“梯子靠墙”章头问题，如果梯子的倾角是75°，在没给定该锐角函数值的背景下，求出梯子顶端到地面的距离具有不可求解性.为此，研究者让学生通过“折纸”方式，在观察折痕的前提下，获得该角的正切值，最终实现创造性问题解决的目标.当然，“折纸观察推演”都是新旧经验得以组合和改造的过程，终于形成非常规问题解决产生式系统.
奥苏泊尔从意义学习论出发，认定问题解决分为五个阶段：符号表征学习概念学习命题学习概念和命题的应用创造性解决问题.章头问题一般要经历这五个阶段，方能使得问题解决目标得以通透实现.“投币实验”章头图是古典概型的代表，通过“认识概率”的学习，学生已经积累了只要硬币质地均匀，出现“正面朝上”和出现“反面朝上”的机会均等，试验结果具有等可能性.鉴于此，要强化知识间的内在关系教学，为“等可能条件下的概率”学习做好思维铺垫.抛掷一枚质地均匀的硬币1次，出现哪些等可能的结果（正、反），直接写出正面朝上的概率；抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现哪些等可能的结果（正、正；反、反；正、反；反、正），求出2次都正面朝上的概率；抛掷一枚质地均匀的硬币3次，出现哪些等可能的结果，猜想3次都正面朝上的概率，并通过列表或画树状图进行验证；请设计一个摸球试验方案，反映用频率估计概率的统计思想.
综上可知，投币实验章头活动，旨在引а生体验“通过大量重复试验，用事件发生的频率的稳定值估计概率”与“等可能条件下的概率”的内在关系与区别，感悟某一类随机事件，可以根据试验结果的客观对称性或均衡性来确定其发生的概率，不必多次重复试验.在这里，从问题解决的心理秩序来说，如果把抛掷硬币1次活动看作是符号表征学习的发生，那么抛掷硬币2次活动是概念和命题学习的重要阶段，抛掷硬币3次活动是应用意识的范式表现，则设计概率实施方案是创造性问题解决的结果状态.其中，前3个活动是常规问题解决的具体化表现，后面的设计方案行为涵盖非常规问题的诸多要素，需要逆向思维的复合参与，方能实现章头图的立体功能与课程教育导向.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》从问题解决目标出发，强调让学生在解决简单的实际问题中增强发现和提出问题的能力倾向；重视多角度分析和解决问题，掌控问题解决的基本方法；关注在合作、交流与反思中形成可靠的评价意识.投币章头图恰好落实了问题解决的四个层面的问题力，投币问题包含分析解决问题能力簇以及评价意识培养倾向，编制摸球方案涵盖发现提出问题能力导向以及逆向评价体系的产生式.就这一意义上来说，章头图为问题解决提供了“好问题”“好念头”“好教育”的客观载体，问题解决的问题具有反哺章头图教育属性作用.
4章头图与学科素养属性
学科素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.素养（literacy）是指一个人的稳定的心理品质，集中反映人的学科能力.数学素养决定学习者的数学能力和数学观.使用数学章头图的能力是提高数学能力的有用途径，关乎经验质量，关乎方法水平，更关乎数学修养.教育部定了一个学生的核心素养，涵盖三个维度：社会参与的维度，自主发展的维度和文化修养的维度.学科素养属于文化修养维度范畴，这里特指数学素养.张奠宙先生把数学素养划分为四个层面：数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流.章头图本身带有强烈的问题意识特征，是引发目标问题的好素材，能为逻辑推理和信息交流提供有质量的思维经验成分.因此，章头图活动是提升数学素养的可靠载体.
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》从数学教育理念出发，认定数学素养[12]是人们通过数学教育以及自身的实践和认知活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和.在这里，可以把基础知识和基本技能看作是文化修养的心理基础，则数学思想和观念是社会参与的能力基础，思维品质和解决问题能力是自主发展的素养资本.为此可以认证，好的数学教育应该用“数学活动”回应社会参与特征，用“研究性学习”呼应自主发展特征，用“课题学习”反射文化修养特征，而活动性、研究性、课题性都是章头图教育属性的外显，就这一层面来说，研究章头图的过程就是学科素养得以聚合提升的过程.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》从课程内容的质量观出发，认定发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想、应用意识和创新意识是时代教育对人才发展的需要.当然，就人类生活素养水平差来说，大致可以将数感、符号意识、几何直观纳入到经验质量范畴，运算力、推理力、空间观和模型思想归结到方法水平范畴，则数据分析观、应用意识和创新意识属于数学修养文化范畴.数学章头图恰好能承载课程认知“十大核心概念”的目标意义，就这一属性理解来说，初中段数学教育的“新能源”“新材料”“新素养”的研发基地就是对章头图的开发与利用.
苏科版八年级《数学》上册“第1章全等三角形”是以“两扇雕花的窗格”“两个全等三角形”为章头图，研读章头图的过程就是感受全等图形和全等三角形特征的过程，投射了空间观念和几何直观成分，揭示数学与生活的关系；“第3章勾股定理”是以2002年世界数学家大会会标“弦图”“梯子靠墙性数组”为章头图，研究弦图和特定数组的过程就是把握勾股定理本质及其应用建模的过程，涵盖数感、数据分析观、应用和创新意识成分，标志我国古代验证数学力的发展水平.苏科版九年级《数学》下册“第6章图形的相似”是以“不同底板的长城照片”“非特殊相似三角形”为章头图，反映相似变换的整体特性.研读章头图的过程就是体会相似形的性质、探索图形相似条件的过程，涵盖符号意识、运算力、推理力以及建模意识的培养倾向，发展了学生的观察学习和联想学习等学科性素养，终于数学课程教育对人的发展质量的要求.
于此可见，章头学的教育作用超越了单纯的“四基”“四能”目标范畴，给人的发展带来了无限的变革空间，用好章头图是未来数学教育的新方向.就与时俱进的课程教育使命来说，章头图与审美直觉、课程目标、问题解决和学科素养的关系不止于人学修为观，还包括辩证法、经济学、社会学和测量学等素养质量观意识.限于文本属性，这里暂时不予研究.
参考文献
[1]张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2011：176.
[2][3]徐利治.数学方法论十二讲[M].大连：大连理工大学出版社，2007：77-88，261.
[4]萧柏荣.数学教育探索五十年[M].南京：南京大学出版社，2012：98.
[5]王钦敏.感受数学美的两个重要途径[M].数学教育学报，2014（2）：53-56.
[6]刘萍，张雄.数学美的哲学思考[J].数学教育学报，1999，8（2）：38-41.
[7]马忠林.数学课程论[M].南宁：广西教育出版社，1996：314.
[8]王光明.数学教育研究方法与论文写作[M].北京：北京师范大学出版社，2010：167.
[9]王尚志，胡典顺.齐民友先生对数学教育若干问题的看法――齐民友先生访谈录[J].数学教育学报，2015（2）：4-9.
[10]梁好翠，黄岳俊.教师期望对学生数学自我概念影响的定量分析[J].钦州学院学报，2014（8）：45-49.
[11]皮连生.数学教育心理学[M].上海：上海教育出版社，2011：145.
关键词：学困生特征物理素养措施
物理教育的根本目的就是要面向全体学生。因而要全面推进素质教育，大面积提高教学质量，认真探索学困生的转化途径就成了一个很重要的研究课题。
一、物理学困生的特征
1、对概念：理解不透，不能用自己的语言再现，不能说明概念的体系及概念之间的联系。
2、对公式：只能照搬应用，说不清公式的由来及各量的意义、单位及公式反映的规律。
3、对探究：课堂上回答问题只知其然而不知其所以然，在讨论问题时、只求结论，而不进行积极思考，人云亦云，遇到问题持消极态度。
4、对自学：找不出问题的重点和难点，不能叙述教材中的问题，也说不清弄懂了哪些，阅读速度慢并且注意力不集中，无自觉性。
5、对实验：无从入手，处理问题时袖手旁观。
6、对作业：解题不遵循一定的步骤、法则，不检查解题过程与分析结果，不能说明解题的依据，甚至抄袭作业。
7、对老师：敬而远之，害怕提问，在老师提问时因紧张而低头躲避。
二、教师针对物理学困生的特征，在教育教学中培养物理素养的措施
1、加强物理基本概念的教学。概念是思维的基础，又是思维的结果，在物理概念教学过程中：（1）解释概念产生的背景。（2）揭示概念的形成过程。（3）加强对基本概念的巩固与训练。（4）让每个学生建立错题档案，搜集和整理学习中出现的错误，进行多次反复订正，并在学习小组内互相交流，切实有效地防止错误的再次发生。
2、加强学困生的思维训练。在物理教学过程中，教师不仅是传授知识，更重要的是注重培养学生的思维能力，在物理学习中要使学生思维活跃，突破思维障碍，就要教会学生分析问题的基本方法，培养学生的正确思维方式。
在教学过程中，要把提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力作为教学的一个目标。
3、勤于诱导。在教学中，有些学困生，不是由于智力低，而是意志力薄弱，不能和大多数同学一起进行积极有效的思维活动。其具体表现为：a．缺乏学习的自觉性。b．缺乏学习的坚韧性。c．缺乏学习的兴趣。对这些学生，最主要的是突出一个“勤”字。第一，勤观察他们的言行及神态的变化。第二，勤帮助，在他们不自觉学习时，要及时提醒他们，在他们遇到困难悲观泄气时，要帮助他们找出克服困难的办法，鼓励他们要勇于同困难作斗争，要善于战胜困难。第三，勤鼓励，当他们取得成绩时，哪怕是微不足道的，教师都应不失时机地采用适当的方式加以鼓励，使其充分认识到自己的成绩和进步，以成功的喜悦逐步改变其脆弱的意志。转贴于
4、注重学习方法的指导和课内课外的辅导。有些学困生各方面能力相对较差，但意志力较强，学习勤奋是他们的特点，教师对这类学生不能视为包袱，对他们要适当地做一些课外辅导补救工作，帮助他们分析具体的知识障碍与技能障碍，其中包括利用数学方法处理物理问题方面的障碍，以及通过补实验或设计一些更生动形象的课外物理实验，让这类学生更具体，更深刻地理解物理概念和物理规律，并掌握物理习题解题技巧。对这类学生重点是通过个别辅导方式，使他们逐步改进学习方法。
5、注重情感投资，激发学习热情。在物理教育中，有许多与学生需要相抵触的情况，从而造成了一些学生的情感障碍。a、教师或家长对学生期望值过高。b、教师教育不得法，忽视个性的差异。对这类学生的转化，要注重建立良好的师生关系，培养师生的情感，教师要懂得学生需要什么。这些学困生往往有自卑心理，他们往往因物理成绩不理想而愧于见老师，更不会主动地向教师提问，长此以往，问题越聚越多，思想负担越来越重，学习就愈感到困难。教学中平等地对待每一位学生，热情地关怀学生，把发自内心的微笑带进课堂，把信任和期待的目光洒向课堂的每一个角落，特别是用自己的激情驱散这些学生的自卑和孤独。在教学中经常给他们一个微笑，打个手势，拍拍肩膀，时而在练习中写几句赞扬话等都会给学困生无形的力量。对他们做到优先提问、优先辅导、优先检查练习，耐心细致地帮助他们，直到弄懂弄通为止，从而在师生之间架起感情的桥梁，让教学的双边活动在情感交融中进行。
6、培养参与意识，获得成功的体验。物理教学应以传授知识的传统模式转变到以激励学习为特征的、以学习为中心的实践模式，由学生被动听讲的课堂变成学生积极主动参与的学习环境，所以在教学过程中应让全部学生都有思考、发言、练习、讨论、板演的机会，而不能为了课堂气氛、教学节奏、课堂密度把机会全包给优秀生，应当挑一些易回答、易解答、易操作的问题让一些学困生来做，这样不仅可使他们有了参与各种活动的机会而且能使他们在这些回答中有成功的体验，使他们在成功中树立信心和决心，从而激发他们学习物理的兴趣。
参考文献：
[1]中华硕博网china-b.com
关键词：认知弹性理论；教师培训教学；受训教师；教学设计策略
Abstract:Cognitiveflexibilitytheoryisalearningtheoryaboutacquiringandtransferringtheknowledgeinill-structureddomainsanditismoresuitableforguidingprimaryandsecondaryschoolteachertraining.Basedonthetheory，theprinciplesofteachingdesignareasfollows:1.emphasizingmultiplerepresentationofconceptandcarryingoutmulti-dimensionalanalysisofconcept;2.usingthecasestudyofconceptandcrossdesignofconceptandcase;3.lcreatingreallearningsituationsandteachingsituationsforlearningtasks;4.carryingoutthemultipledimensionalnet-basedstructuredesignofteachingcontentswithcognitiveflexibilityhypertext.
Keywards:cognitiveflexibilitytheory;instructionofteachertraining；teachertrainer;teachertrainee
随着我国教师专业化的不断发展和基础教育课程改革的不断推进，中小学教师培训的重要性日益凸显。然而，许多地区中小学教师培训教学的实践表明，效果并不令人满意，普遍存在“费时低效”“学难致用”的现象。究其原因，主要在于未能有效地运用科学的学习理论指导中小学教师培训教学。认知弹性理论是上世纪80年代末美国学者斯皮罗等人针对结构不良的知识的习得与迁移而提出的一种学习理论。基于中小学教师培训教学的实践经验和对认知弹性理论的理性分析，我们认为，认知弹性理论对中小学教师培训教学具有重要指导意义。
一、认知弹性理论的基本观点
（一）三个基本概念
1.结构不良的知识
斯皮罗等人依据知识及其应用的复杂与变化程度将知识分为结构良好的知识和结构不良的知识。［1］结构良好的知识是指与具体情境之间具有直接对应关系的知识，这种知识一经习得，便可根据相应的规则或原则加以运用。比如，四则运算就是结构良好的知识，学生只要掌握了计算的规则就基本上可以进行准确的加减乘除运算并获得唯一确定的答案。结构不良的知识是指与具体情境之间不存在直接对应关系的知识，这种知识通常可以应用于多种不同的情境问题，而一个情境问题的解决也往往需要多个知识点的综合运用，而且其应用往往有多种方案、途径与标准。比如，一个“合作学习”的概念，可以运用于不同学科、不同年级的多种不同的课堂情境中，而以“做中学”为主的课例就可能包含着“自主学习”“合作学习”“探究学习”等多个概念的综合运用，不同的教师可能采用不同的方案、途径与标准，获得不同的运用效果。结构不良的知识普遍存在于医学、工程学和教育、历史、艺术等人文学科，是认知弹性理论关注和应用的主要知识类型。
2.高级学习
斯皮罗等人将学习分为初级学习与高级学习。初级学习是还原倾向的简单化学习，只要求学生知晓一些重要概念、方法和事实，将所学的东西简单再现出来，涉及的内容主要是结构良好的知识；高级学习要求学生把握知识的复杂性，能用所获得的知识去分析、思考问题并能在新的情境中灵活运用这些知识，涉及的内容主要是结构不良的知识。高级学习是认知弹性理论倡导的基本学习方式。［2］
3.认知弹性
斯皮罗等人认为，认知弹性是一个人对其知识进行自动重构，运用多种方式对完全处于变化中的情境要求进行回应的能力，是人在认知中的灵活变通能力。主要表现在能否对复杂的情境进行认知，能否以多种方式对情境进行认知。认知弹性强的学习者在认知方面具有较强的灵活性。即能不断变换看问题的角度，能依不同的属性对刺激源进行分类，能发现整体中各部分之间的新联系，能对相同事实作出不同方式的解释，能依据不同的情境脉络对各成分重组与排序，能更顺利地将知识迁移至新的情境。认知弹性是认知弹性理论所强调的核心能力，培养认知弹性是结构不良的知识学习的重要目标。
（二）两条基本原理
认知弹性理论的第一条基本原理是：只有在显示多元事实时才能以最佳方式对结构不良领域的知识进行思考。因为从单一视角提出的观点虽不是错误或虚假的，但却是不充分的。［3］认知弹性理论强调的核心问题是多元认知表征，即要求从多角度审视某一主题。这既能增强对该主题的理解，也能增强将这一理解迁移至其他领域的能力。
认知弹性理论的第二条基本原理是：概念与案例构成多维度与非线性的“纵横交叉形”。“纵横交叉形”隐喻：要多样化地应用知识，就必须展现知识的多重关联和知识对情境脉络的依赖性。
（三）随机通达教学
斯皮罗等人在探讨了高级学习的基础上，提出了适用于结构不良的知识的教学方法──随机通达教学，即对同一教学内容，要在不同时间，在重新安排的情景下，带着不同的目的，从不同的角度多次进行学习，以此达到结构不良的知识获得的目标。［4］随机通达教学要求在教学中应努力揭示知识的多种关联性，与其他知识要素相联系，使学生达成对知识的多视角理解；揭示知识对情境的依赖性，与具体情境相联系，使学生形成知识的情境性表征。
（四）认知弹性超文本
认知弹性理论提出了体现和应用其原理与方法的具体技术──认知弹性超文本。它是一种按信息之间关系非线性地存储、组织、管理和浏览信息的计算机技术，是由节点和表达节点之间关系的链组成的网状结构。其典型特征是能在文档内部和文档之间建立联系，可使学习者根据自身的实际情况随机获取所需信息，并且内容能被重新编辑，以产生一种特殊的、概念纵横交错的知识结构。认知弹性理论认为，认知弹性超文本适用于结构不良的知识学习。
以上三个基本概念和两条原理构成认知弹性理论的逻辑起点，随机通达教学是体现其原理的方法，认知弹性超文本则是实现其方法的技术媒介。
二、认知弹性理论对中小学教师培训教学指导的适用性
（一）中小学教师培训教学内容是结构不良的知识
中小学教师培训的主要教学内容是使受训教师获得必要的教学知识，而这些知识本质上是结构不良的知识。这是因为，教学知识虽指向教学实践，但其与动态、变化、真实的教学情境之间通常不存在直接对应关系，一项教学知识通常可应用于多种教学情境问题，而一个教学情境问题也往往需要多项教学知识的综合运用，即使是同类的教学情境问题，所涉及的教学知识及其作用模式也有很大差异。事实上，教学情境是由学生、教师、教学环境和课程等相互作用的诸复杂要素构成的生态系统，不同要素组合而成的教学情境之间存在着很大差别，一项教学任务的完成通常需要应用不同类型的理论。比如，要将所学的教学原理用于函数课堂教学，就不能简单套用所学的一般教学原理，而应综合运用函数知识、思想方法及其特点、特定阶段学生学习函数的认知活动过程与方式（如杜宾斯基关于数学概念学习层次的APOS理论［5］）以及具体班级学生的心理特点和一般教育教学原理与方法等知识，制订出函数这一特定内容的教学方案，并在具体实施过程中依据实际情况灵活把握与适当调节。这一过程需要多个概念、原理、经验背景以及教学机智的综合而灵活的运用。受训教师获得教学知识的目的是将其应用于教学实践，而教学实践的情境性、体验性与生成性［6］和教学知识的效度与场域要求［7］以及教学知识与教学实践之间存在严重鸿沟的现实隐喻了教学实践的复杂性，蕴含了教学知识是结构不良的知识。
（二）受训教师应采取高级学习的学习方式
在中小学教师培训教学中，受训教师应采取高级学习的学习方式。事实上，传统的中小学教师培训教学效果之所以不令人满意，其主要原因之一在于，将初级学习阶段的教学策略不合理地推移到高级学习阶段的教学中，教学过程过于简单化。比如，将教学知识从与其密切相连的复杂的教学实践情境中隔离出来进行学习，将本来连续的教学过程机械地切割成多个离散的阶段处理，将具有整体性的教学知识简单地割裂为孤立的部分而忽视其各部分间的相互联系，受训教师获得的仅是高度抽象的、去情境化的、僵化的教条，难以与自身的知识经验有机地融为一体，仅仅在头脑中记忆储存，却很难指导其教学实践。尽管必要的简单化对教学是有意义的，但整个教学过程过分简单化则会导致学生理解的片面与定势，这正是妨碍习得的教学知识在具体教学实践中广泛而灵活迁移的主要原因。具有结构不良特征的教学知识与情境脉络紧密相联，具有高度的情境依赖性，在中小学教师培训教学中，应创设与教学实际问题相一致的情境，关注受训教师面对各种实际的教学情境问题时进行的知识生成与持续改进过程，使受训教师采取高级学习的学习方式，体验教学知识的复杂性，实现对教学知识的深刻理解与综合贯通，并将其灵活运用于多变的实际教学情境。
（三）中小学教师培训教学重在发展受训教师的认知弹性
中小学教师培训教学的主要目标是能使受训教师将所学教学知识灵活地应用于教学实践情境。而教学实践情境复杂多变，具有很大的不确定性和不可预测性。事实上，受训教师所面对的课堂与教学情形变化无穷，尤其是其所面对的教学对象主体──学生有着巨大的变化性，他们在不同的环境中成长，具有不同的认知方式、能力水平、个性特征与学习习惯等，同时，具体的教学过程中还存在着潜在的不可控制性。所有这些都不可能预先完全设定，因而其应用也不可能有整齐划一的规律模式。这就要求受训教师运用教学知识分析具体的教学情境，对其作出正确的理解，依据不同的具体教学情境对教学知识建构多种不同的表征，形成多元化的教学知识结构与图式，并能实现教学知识向实践迁移。因此，中小学教师培训教学应注重培养受训教师的认知弹性，使其具备弹性的认知技能，具有较强的应变能力，能够灵活处理教学过程，以克服传统教师培训普遍存在的“学难致用”现象，增强教学实效。
转贴于
综上所述，中小学教师培训教学内容的特征、应采取的学习方式和要达成的教学目标完全符合认知弹性理论针对结构不良的知识采取高级学习的学习方式培养学习者认知弹性的基本观点与要求。因此，认知弹性理论适用于指导中小学教师培训教学。
三、认知弹性理论指导下的中小学教师培训教学设计策略
基于认知弹性理论，针对中小学教师培训教学的特点与要求，结合目前中小学教师培训诸方面客观条件与实践环境，我们认为，中小学教师培训宜采取如下教学设计策略。
（一）注重概念的多视角表征，实施概念的多维分析设计
中小学教师培训教学重在发展受训教师的认知弹性，而认知弹性的形成与知识的呈现方式密切相关，越是以多个维度向学习者呈现知识，越有利于学习者认知弹性的培养。教学概念的理解往往是“横看成岭侧成峰”，任何单一的视角都可能错失概念理解的许多重要方面，这意味着通过不同的视角可获得不同的情境体验和对复杂知识多种意义的建构。具有结构不良的知识特征的教学概念，蕴含着其应用于教学实践的多种途径，单一的观点可能会导致缺乏多样化的应用途径。在不同情境中多次呈现同一教学概念并以不同方式对其进行多维分析，可使其隐含的关键要素不断显现，有利于受训教师掌握概念并将其迁移至新的情境，从而提高受训教师的认知弹性。因此，在中小学教师培训教学中应将概念的多视角表征与多维分析置于中心地位，应尽力展示概念的某方面特征或本质与其他要素之间细致而复杂的多维度关联，以相互加强概念本质的多元表征，从而既增强对概念自身的理解，又增强对教学知识结构整体的理解。应从不同角度呈现同一概念的不同侧面，或者从不同概念的不同角度反复呈现同样的材料，在具体的情境中形成对教学概念的多维理解。比如，对“合作学习”概念的学习，不但应运用自然语言对其内涵进行阐释，还应通过实际案例对其进行解读；不但应对其基本模式进行归纳，还应对其多种变式进行探析；不但应对其所蕴含的作用与价值作出判断，还应对其运用范围与局限作出评价。进行如上多角度的表征与多维度的分析，有助于实现对“合作学习”概念的深层理解。在呈现某一教学概念时，不应强加给受训教师所谓的权威的、唯一的、标准的解释，而应在各种观点或解释中，选出比较典型的几种展示给受训教师，使其从不同的角度主动地建构起对该教学概念的多元认知与全面理解。为此，中小学教师培训教学要充分重视受训教师的已有经验，开展培训教师与受训教师之间、受训教师与受训教师之间的反思性对话与讨论。因为不同的教师在不同的教学环境与实践中均积累了富有个性特色的经验，每个人均以自己的经验为背景建构对事物的理解，通过交流与碰撞使受训教师超越自己的认识，关注到概念的不同侧面。在对话与讨论中，培训教师可先保留自己的看法，提出一些启发性问题，引导受训教师形成并阐发自己的观点，培训教师耐心倾听其发言，并洞察其想法的由来，分析其合理性与局限性，促使受训教师在交流讨论中积极建构知识的意义，对概念形成多元化的认识和全貌性的理解。
（二）运用概念的案例教学，实施概念与案例的交叉设计
认知弹性理论十分重视案例在教学中的作用，教学案例能帮助组织经验、内化知识、反思实践、沟通理论与实践、提升理论分析水平。中小学教师培训教学中，用具体教学案例阐释相关概念，使受训教师从教学实况的演示、观摩与讨论中体会与建构教学知识，有利于加强教学理论与实践的联系，提高其认知弹性。
在运用教学案例进行教学概念教学时，不应将教学概念与教学案例相隔离，而应将其相联系，构建教学概念与教学案例的“纵横交叉形”，即对一个教学概念要用多个与之相连的、代表不同情境的教学案例来理解，而每个教学案例又同时能支持多个相互联系的教学概念的表征。这样，通过多个教学案例对同一教学概念进行多维度的意义建构与重组和对同一教学案例进行多元教学概念的解析，能够有效地加强记忆的语义表征与情节表征之间的联系，加强理性认知与感性认知的有机联系，不仅可使受训教师形成对教学概念的多角度理解，将教学概念同具体情境联系起来，形成背景性经验，而且有利于受训教师针对具体情境建构解决实际教学问题的模式与方法，以增强认知弹性。
抽象的教学概念应用于实际的教学案例情境时存在着很多变量，因此，应在多个教学案例的应用中向受训教师揭示教学概念变量间的细微差别。与之相应，由于不同的教学案例基于不同的教学情境，所以也就蕴含着教学概念间的不同关系，这样，一个教学案例就可视为多个教学概念在此特定的情境中发生的特定联系，解析一个教学案例的过程是将多个教学概念迁移至此情境的过程。因此，应将一个教学案例分解为多个教学概念来理解，并厘清各教学概念之间的关系。采用多维度与多视角解析教学案例，有助于抽象出教学概念与情境的多重联系，建立起教学概念通向其他类似情境的可能途径。
教学概念与教学案例的相互交叉设计，将抽象的教学概念与鲜活的教学实践相联系，具有很强的针对性和实效性，这就要求培训教师应具有关于各种教学案例的教学概念框架，掌握解析教学案例、构建教学概念与教学案例“纵横交叉形”的方法。
（三）创设真实的学习情境，实施学习任务的教学情境设计
学校学习常常侧重于抽象的、脱离情境的知识，学生往往在经过处理的、过于简单的、非真实的情境中学习，这种知识一般难以迁移到真实的场景，难以应用于实际。［8］比如，一个习惯于解决细线悬挂小球的摆动的学生，对小孩荡秋千的问题会一筹莫展。因为学生已经习惯于抽象的推理和运算，而对问题的实际背景并不关心。创设真实的学习情境正是试图通过真实情境中的抛锚式知识与技能去诱导实践认知，感受真实的情境体验，领悟情境所蕴含的实质，获得知识的情境化理解，实现知识的实践性迁移。所创设的情境越是接近教学实践的真实情境，就越有利于迁移能力的形成和认知弹性能力的提升。中小学教师培训教学的主要目标是使受训教师能将教学知识广泛而灵活地运用到具体的中小学教学实践情境。因此，培训教师应尽可能创设真实的教学现场情境，并通过理性的观察、分析与交流，解析其所蕴含和涉及的教学知识。比如，应提供发问、讨论、课堂教学观摩、实际演练等机会，激励受训教师针对实际教学情境，展开平等而坦诚的反思性对话，诊断问题产生的原因，制订问题解决的策略。
创设真实的学习情境并实施学习任务的教学情境设计，将静态的文本还原为鲜活的教学情境，将严肃的教学理论引向生动的教学实践，促使受训教师在真实的学习情境中观察实践、反思实践，不断生成活生生的经验，实现对教学知识深层的、本质的理解。
(四)运用认知弹性超文本，实施教学内容的立体网状结构设计
基于认知弹性理论的基本原理，中小学教师培训教学中，应依据情境或要解决的任务将抽象的教学概念与具体的教学案例相联系，将来自于不同方向的复杂的教学主题通过非线性、多维度的穿越，展现其多重的关联类型和其对情境的依赖性，从而建立教学知识的立体网状结构，以促进受训教师对相应教学知识的掌握及其向教学实践的迁移。认知弹性超文本是实现这种知识组织策略的理想教学媒介。
认知弹性超文本将教学概念镶嵌在相关的背景中，将教学知识网络中的概念相互连接，形成从单个教学概念出发的多个相关教学概念组成的教学概念群，并用教学案例及其特定的情境来支持这些教学概念的表征，而每个教学案例中又都包含着多个教学概念，并以被分解的教学案例的元素为依据将教学案例与所涉及的多个教学概念相链接。这样，与某个教学概念相关联的多个教学概念和教学案例被组织在一起，既能用上位教学概念和同级教学概念确定其在结构中的位置，又能将其展开进行多元表征。教学知识的这种立体网状结构以概括性和系统性的教学概念为主干，以相关的教学案例为交叉主干，主线脉络清晰，具有非线性、多维性、探索性、生成性与情境性特征，非常符合人的联想思维方式，因而有助于受训教师从多种角度理解与表征教学知识，实现对教学知识的有效加工，构建动态的教学认知结构。
认知弹性理论对中小学教师培训教学具有重要指导意义，应深入挖掘认知弹性理论的精髓用于指导中小学教师培训教学实践。当然，认知弹性理论也有其局限性，比如，结构不良的知识学习是非常复杂和不规则的，认知弹性理论不应成为指导学习过程的固有图式，其应用模式亦应有灵活的变式。此外，认知弹性理论倡导对概念的多重表征，但受训教师面对多种观点或解释常感茫然，因此，培训教师应加强与受训教师的交流，强化对受训教师的指导。
参考文献
［1］SpiroRJ，FeltovichPJ.Cognitiveflexibility，Constructivism，andHypertext：RandomAccessInstructionforAdvancedKnowledgeAcquisitioninIll-structuredDomains.ConstructivisminEducation.Mahwah，NJ：LawrenceErlbaumAssociatesPublishers，1995.85-107.
［2］张建伟，孙燕青.建构性学习［M］.上海：华东师范大学出版社，2005.59－61.
［3］莱斯利P斯特弗.教育中的建构主义［M］.上海：华东师范大学出版社，2002.75.
［4］SpiroR，VispoelW，SchmitzJ.KnowledgeAcquisitionforApplication：CognitiveFlexibilityandTransferinComplexContentDomains［M］.NewJersy:LawrenceEr-labumAssociates.1987.177.
［5］张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论［M］.北京：高等教育出版社，2003.180-182.
［6］康丽颖.教师教育研究的实践意蕴［J］.比较教育研究，2006，（7）：28-29.
论文摘要:体育教学是学校全部教学工作重要的一部分,是学生在教师有目的、有组织、有计划的指导下,反复进行身体练习,提高身体素质,增强体质,掌握体育的知识、技术和技能,提高认识能力的过程。但这也并不等于教学过程的全部,还要在已形成“概念”的指导下,通过反复实践练习,进一步提高认识,加深对知识的理解,巩固知识,形成技能和技巧,并运用这些技能、技巧锻炼身体。
体育教学是学校全部教学工作重要的一部分,是学生在教师有目的、有组织、有计划的指导下,按照体育教学计划、要求及内容,反复进行身体练习,发展身体,增强体质,掌握体育的知识、技术和技能,提高认识能力,向学生进行思想品德教育的过程。体育教学过程也是学生借助于教师的示范和讲解,通过自身的感受,在教师的指导下,运用比较、分析、综合、归纳等思维形式,认识了技术动作的本质和规律,建立起技术动作的概念,但这也并不等于教学过程的结束,还需要把它付诸于实践,也就是要在已形成“概念”的指导下,通过反复实践练习,进一步提高认识,加深对知识的理解,巩固知识,形成技能和技巧,并运用这些技能、技巧锻炼身体。为此,在深化学校体育过程中,要使学生掌握体育知识、技术和技能,我认为一般从以下三方面做起。
一、感知教材,形成动作表象
动作表象是指在感知觉的基础上,在头脑中重现出来的动作形象。这是学生掌握体育知识、技术和技能的第一步。这一阶段使学习对象形成表象,为进一步建立动作概念打基础。教学一个新动作时,必须熟悉学生是否具备必要的感性知识,开始时要领先教师正确的动作表象。为此,教师要着眼于使学生形成正确的动作表象,必须把完整示范和分解示范相结合,为使示范动作的效果更好,要指导学生对感知对象的观察,培养学生的观察能力。先认识动作的整体和轮廓,然后观察动作的各个阶段和细节,最后观察动作各部分之间的互相联系。总之,动作表象是形成动作要领的基础,动作表象内容不断地丰富和充实,使动作表象逐步概括化,再经过一系列的抽象思维活动,即转化为概念。
二、理解教材,形成动作概念
在学生感知教材的基础上,引导学生进行积极的思维活动,对感知的教材加以概括,形成概念,掌握规律,这就是对教材的理解。动作概念的形成是一个复杂的抽象思维过程,在这个过程中要引导学生运用比较、分析、归纳、综合、演绎等思维形式。
比较的方法是体育教学中经常运用的,便于使学生认识对象的异同点,从中区别出一般的、本质的特征来,以便使学生在掌握动作规律时透过现象的东西,而抓住本质的特征。比如,教学挺身式跳远时,引导学生和以学过的蹲踞式跳远相比,启发学生提出它们的相同点和不同点,在比较中得出挺身式跳远的要领,区别与蹲踞式跳远的主要特征是完成腾空步后下放摆动腿形成挺身姿势。
形成动作概念还需要用分析和综合的方法。分析是要学生把学习对象分解为各个部分,分别研究其每一部分的特征,并区分哪些是本质特征,哪些是非本质特征,综合是要学生把学习的各个部分组合成一个整体来研究。譬如,要使学生形成跳远运动的要领就要分析跳远各技术环节的特点,分析出助跑、起跳、腾空、落地等技术环节各自的特殊性。分析和综合是相互联系的,教学只有把它们结合起来,才能使学生形成动作概念。
归纳和演绎也是形成动作概念不可缺少的思维过程。归纳是由个别到一般的推理,是从许多个别现象中对一系列事实材料进行分析研究之后,找出其共同的、本质的要素,排除其本质的要素,从而概括出事物的一般性的要领或原理。演绎则是由一般到个别的推理,是从已确立的原理和规律出发,研究与之相应的具体事实,从而推出个别思维的结论。比如,在铅球教学中,通过原地侧向推铅球比原地正面推铅球推的远,滑步推铅球还比原地推的远的许多个别事例,说明加长工作距离,有利于做功,有利于推铅球的成绩。从而推理得出,超越器械动作是最后用力推球前的准备动作,这是用归纳法从个别到一般的推理得出的结论等。总之,在体育教学中,比较、分析、归纳、综合、演绎等思维过程,经常是相互渗透,构成一个复杂的抽象思维过程。教学时,要结合实际,善于启发诱导,使学生开动脑筋,积极思考,理解教材,形成动作概念。
三、反复练习,形成动作技能
在体育教学中,形成动作表现和动作要领只是教学的一个方面。不等于教学的结束,体育教学的特点是知识和技能密切联系的。所以在形成学生动作表象和动作概念的基础上,指导反复练习,以形成动作技能,是体育过程中又一个重要方面。
练习在体育教学中也占有极为重要的地位,它是形成学生动作技能的重要方法,练习过程也是身体锻炼过程,方法要正确而多样,由简到繁、由易到难,有系统地、循序渐进地反复进行,合理分配练习时间,合理安排练习的强度,让学生知道练习的结果。通过练习使学生对动作概念掌握得更加精确和透彻。
综上所述,感知材料,形成动作表象,理解教材,形成动作概念及反复练习,形成动作技能的三个阶段,都有各自的特点和完成特定的任务,但它们又不是截然分开的,而是相互交错、互相渗透、互相联系,构成了统一的、完整的体育教学过程。
参考文献:
[1]毛振明.体育教学科学化探索[m].北京:高等教育出版社,1999.
关键词：数学；教学；知识；教师教育
一、数学知识研究
传统上认为数学教师至少要掌握他所教的数学知识。班级授课制成熟后，人们开始同意这样一个原则：除了所教的数学知识以外，数学教师还需要掌握像组织教学、控制课堂秩序等一些教学知识。随着教学研究的深入，人们发现教师仅仅知道他所教的数学的术语、概念、命题、法则等知识是不够的。…除此之外，教师还要知道数学的学科结构。学科结构的概念最早源于schwab。他指出了理解学科结构的两种方式：一个方式是句法性地(syntactically)，另一个方式是实体性地(substantively)。所谓句法性地是指从学科所表现出来的逻辑结构方面去了解学科结构。比如，引入无理数表示不可公度线段，引入负数与复数表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，仅是为了保持方程都有解这个论断的完整性和通用性所做出的一种假设与解释。对这三个概念含义的理解，只能通过产生这些概念的前后联系才能揭示。所谓实体性地是指从学科的概念设计角度去了解学科结构。比如，欧氏几何与解析几何有不同的概念框架。ball把数学的学科结构知识称为关于数学的知识。它是指知识从哪里来，又是如何发展的，真理是如何确认的，又将用到哪里去。
主要有三个维度：一是约定与逻辑建构的区别。正数在数轴的右边或者我们使用十进位值制都是任意的、约定的。而0做除数没有定义或者任意一个数的零次幂都等于1就不是任意的、约定的；二是数学内部之问的联系以及数学与其他领域之间的联系；三是了解数学领域中的基本活动：寻找模式、提出猜想、证明断言、证实解法和寻求一般化。
对数学知识的研究，拓宽了人们对教学用的数学知识的理解。它显示教学用的数学知识是很复杂的，除了术语、概念、法则、程序之外，还有数学学科结构或者关于数学的知识。这些知识对于教师确定为什么教、选择教什么和怎么教都会产生影响。比如，约定的与逻辑建构的概念的教学策略会有很大的不同，逻辑建构的概念就必须讲清楚它怎么来的，为什么要定义这个概念，怎样定义，它会有什么用，它与其他的概念的关系是怎样的，它的应用有哪些限度。而约定的概念就没有这些必要。但是，有效地数学教学，仅仅具有上述知识还不够。它缺少对学生的考虑，不能给教师提供教授一群特定的学生所必须的教学上的理解。比如，仅仅通过推导知道(+6)=a+2ab+b对有效教学是不够的，教师还需要知道一些学生容易把分配律过度推广而记成+6)=a+b，知道用矩形的面积表征可以有效地消除这一误解。学生误解的知识与消除误解的教学策略显然不能纳入数学知识的框架，教学用的数学知识的复杂性要求更精致的框架来描述。
二、教材分析研究
有效的教学必须考虑学生已有的知识和知识呈现的最佳序列。在数学学科中，马力平的知识包(knowledgepackage)是国际上较为典型的此类研究。知识包是围绕着一个中心概念而组织起来的一系列相关概念，是在学生的头脑里培育这样一个领域的纵向过程。(n知识包含有三种主要成分：中心概念、概念序列和概念结点，也包括概念的表征、意义和建立在这些概念之上的算法。下例是20以内数的加减法的知识包(图1)。在这个知识包内，中心概念是20至100数的“借位减法”，它是学习多位数的加减的关键前提。
马力平的知识包实际上是我国内地传统的教材分析研究。这类研究结果是教学参考书的主要内容之一。它是一种课程知识，是教师对课程的分析，比对数学知识的分析更接近教学用的数学。但它也不是教师教学时使用的数学知识。它最多是教师对教学的考虑，没有考虑师生互动时产生的数学需求。教师在教学时，能够动员起来的知识不一定符合教学情境的需要。比如教师预期的一种学生的反应在与学生的互动中没有出现，教师以学生的这种反应为跳板的后继知识就没有了用武之地。马力平概括出的知识包，与教师在课堂教学时使用的数学知识还有一段距离，教师在教学时可能用得上，也可能用不上。教师在教学时所需要的数学知识远远超出教材分析所能提供的内容。
三、教学用的数学知识研究
ball开创了教学用的数学知识研究。她通过分析数学教学的核心活动，直接研究课堂教学中教师使用的数学知识及其影响。下面以ball的一个课例来说明其研究方法与结果。该课内容是三年级多位数减法：joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。问joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?学生在解题过程中提供了
六种解法。sean从16的后继数l7开始向后数数，一直数到32得到答案。ba认为，32的一半是16，答案就是16。betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配对，数一下表示32的教具中剩余的没有配对的豆子得到答案。mei的方法是直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。cassandia提供了标准的减法算法，scan受到启发，提供了另一种解法：16+16=32，整节课，学生想尽办法鉴定这些解法的异同。l6jball认为，这节课教学的核心活动是处理数学知识的关联和控制课堂讨论。知识的关联涉及到在具体和符号的模式中，减法和加法是如何关联的、减法的“比较”和“拿走”的解释是如何关联的、教具的表征如何转化为符号表征、betsy的配对比较法如何转化为sean的向后数数的方法、betsy的方法如何和mei的方法协调，控制课堂讨论首先表现在提供线索和解释，推动正确的方法的发展；其次表现在搁置有问题的方法。比如搁置riba的说法。riba的论断是正确的，但要使其他的学生能够明白他的意思，还需要添加几步推理。但这几步推理与用它来证明sean的结论超过了三年级学生的理解能力。
ball对这节课教师需要使用的数学知识进行了归纳。除了传统的教材分析提供的借位减法的符号算法及其背后的位值制之外，教师还需要其他知识。首先需要知道问题的两种表征模式(如减法32—16：?与缺失加数的加法16+?=32)是等价的。其次，还要知道此问题的一些表征：比如像sean的从17数到32，或者mei的从32里拿走l6个等等。第三，教师还需要具有深刻的数学眼光去审查、分析和协调学生的多种解法。最后，教师还需要一些关于数学论证的知识。通过上述分析，ball指出，教材分析只能提供教学用的数学知识的一部分，其余大部分只能在分析数学教学的核心活动中才能得到。
四、启示
1．教学用的数学知识是有效教学的知识基础。它与数学家的数学知识、教材分析得出的数学知识是不一样的。它具有一种教学上有用的数学理解，这种理解主要集中于学生的观念和误解上。学生对特定内容的理解是有差异的，教师需要调和学生不同的理解方式并在这些方式之间灵活自如地转换，引导学生把知识进一步组织，促进学生在已有的知识基础上有效学习。
2．教学用的数学知识是高观点下的数学知识，它联系着更深刻的概念和方法。ball的课例仅是小学三年级的两位数退位减法，但是，通过对课堂教学核心数学活动的分析显示，隐藏在退位减法之外的，是高等数学的等价、同构、相似性和表征之间的转化等概念。从结构上说，前五种解法是同构的，前五种解法和最后一种缺失加数的加法是等价的。但前四种解法的解释模型是不同的，有三种是“拿走”模型，一种是“比较”模型。只有从数学结构上理清这些解法的关系，才能有效地引导学生在不同的方法之间转换并分清这些方法的异同，促进学生高效地组织自己的数学知识。香港的“课堂学习研究”也证实，数学专家参与的教研活动，能提升课堂教学的有效性。
3．教学用的数学知识存在一定的结构。首先是学生理解的知识。像ball的课例所展示的，学生对退位减法的理解有不同的方式、不同的层次和一些误解，这些知识是教师教学的起点。以学生已有的知识为起点自下而上的讲授使知识加以扩充，把新知识与学生已经构成内在网络的概念和方法联系起来，这是提高教学效率的奥妙；其次是教学策略。像ball的课例所展示的，学生的理解各种各样，需要教师使用相应的策略来控制课堂讨论，协调不同的方法，促进正确的方法发展，搁置有问题的方法，这是提高课堂教学效率的重要手段；第三、控制与反馈的知识。教师需要提供线索和解释，矫正学生的误解，促进学生自我评价的参与，促进学生进一步精简合理化知识；第四，课程知识。像马力平的知识包概念所揭示的，特定课题呈现的最佳序列，它的来龙去脉及与其它学科的横向联系，是教师用来教学的数学知识基础。顾泠沅的研究也揭示，辨明一门学科各知识点的固着关系及其潜在距离，构建适合学生特点的、具有合适梯度的结构序列，是提高教学效率的基础；最后是教学目的的统领性观念。像退位减法，是像ball那样对学生的经验进行精简合理化还是直接教授退位减法的法则，取决于教师对数学的理解、信念数学的认识论以及对特定学生最有价值的数学知识的判断。当然，这些成分是从不同的维度来说明教学用的数学知识的属性，它们之间的关系及提高课题教学效率的机制还需从课堂教学的经验出发进一步的概念化。
4．获取这种教学用的数学知识的方法是对数学课堂教学的核心活动进行分析。这些活动包括鉴定学生已经知道了什么；选择和管理所教数学概念的表征；评价、选择和修改教科书；在各种教学策略中做出决策；找到支持这种决策所需的资源；控制学生的讨论。数学课堂教学的核心
InvestigationandAnalysisaboutComprehensionLevelsofPre-serviceMathematicsTeachersontheConceptofSet
MaoYaozhongZhangRuiLiMansheng
（Schoolofmathematics，LanzhouCityCollege，LanzhouGansu，730070，China）
Abstract：Settheoryisthefoundationofthewholemathematicsbuilding.InvestigationshowsthatPre-serviceMathematicsTeachersdonothaveadequatelevelontheconceptofset.Thepaperputsforwardsomesuggestionstoimproveeducationqualityofpre-servicemathematicsteachers.
Keywords：Pre-servicemathematicsteachers；Set；Comprehensiononconcept；Investigation
职前数学教师的概念学习对于其专业发展至关重要。因此，评价职前数学教师的学习成就不仅要关注程序性的知识更要强调概念性的知识。值得注意的是，职前数学教师拥有的诸多概念知识当中，有很多并没有反应出概念的本真意义，甚至是完全错误的。简言之，职前数学教师的概念体系当中具有较多的迷思概念。迷思概念对于职前数学教师认知活动产生的危害难以估量，其会让职前数学教师的认知活动呈现出“劣币驱除良币”的状态，使认知结构产生严重偏差。集合理论是整个数学大厦的基础，通过问卷测试职前数学教师对于集合概念的理解情况，以管窥豹，发现问题，提出改进职前数学教师教育的建议具有重要的理论及现实意义。
1研究设计
1.1研究问题
论文主要围绕职前数学教师关于集合概念的理解水平是怎样的这样一个核心问题展开。
1.2调查对象
调查选取了甘肃省三所师范类高校数学与应用数学专业的176名大三学生，其中男生62名，女生114名。
1.3测试题
论文选取了7道有关集合概念的开放式问题作为测试题，依次如下：
（1）什么是集合？
（2）可以用哪些方式表征集合？
（3）整数集合与偶数集合等价吗？
（4）空集是有限集合吗？请说明理由。
（5）全集是永恒唯一的吗？
（6）一个集合的补集可以不同吗？
（7）区间是集合吗？请说明理由。
1.4数据分析工具
Excel2003软件被用来处理调查得来的数据。
2调查结果及分析
2.1对于“什么是集合？”的调查结果及分析
对于问题“什么是集合？”的回答，65.9%的职前数学教师回答正确，1.1%的职前数学教师回答部分正确，33.0%的职前数学教师回答错误。集合是一些明确规定且彼此不重复的对象的全体。那些回答部分正确的同学仅仅认为，“集合就是明确规定的对象的整体”，缺少了“对象不能重复”这个关键点。
学生对于集合定义的错误理解其实与平时的集合定义教学存在很大的关联。在教学过程中，很多教师往往会直接教授集合的定义、规则及运算，缺少正反例证，没有细致分析哪些对象的全体能够或者不能够形成集合。比如，互相之间不存在共同特征的对象以及彼此不能够共存的对象的全体就无法构成集合。
2.2对于“可以用哪些方式表征集合？”的调查结果及分析
集合有三种表征方式，分别是列举法、描述法和韦恩图法，缺少描述法是大多数部分回答正确学生的通病。总的来看，女同学的正确率（74.6%）明显高出男同学的正确率（56.5%）。
集合的不同表征往往能促使学生更加深刻、全面地认识集合。然而从调查结果看，不少学生对描述法表征集合的认识比较欠缺，这其实与描述法相对更加抽象有关。因此，在日常教学中教师应该加强集合表征方式的教学，不仅要让学生熟悉各种表征方式，而且要重点训练让学生学会在各种表征方式之间进行转换。
2.3对于“整数集合与偶数集合等价吗？”的调查结果及分析
对于问题“整数集合与偶数集合等价吗？”的回答，绝大多数学生（89.2%）的回答都是错误的，认为整数集合包含奇数集合与偶数集合，偶数集合是整数集合的真子集，所以整数集合与偶数集合不等价。他们的疑惑体现在：与原集合不相等的真子集怎么能和原集合等价呢？部分怎么能等价于整体呢？事实上，根据一一对应的原理偶数集合与整数集合是等价的。相对来讲，男学生（17.7%回答正确）的结果好于女学生（7.0%回答正确）。此外，很多学生的答案答非所问，没有按照题目的要求作答。
集合中的元素如果能被数完就是有限集合，如果数不完就是无限集合。有限集合不能等价于除本身之外的任一子集，而无限集合可以等价于它的某个真子集（如通过一一对应就可以使整数集与偶数集等价）。将近九成的学生（89.2%）都对此做出了错误的回答，错误的原因主要是学生缺少集合等价的知识，不知何为集合的等价，把集合的等价与集合的相等混为一谈。在集合的教学活动中，教师应该补充集合等价的理论，并让学生明确区分集合的相等与等价。
2.4对于“空集是有限集合吗？”的调查结果及分析
空集是一个有限集合，但是很多学生基于“空集中没有元素”这个事实，认为：“空集很含糊，不能讨论其有限性”；“空集中没有元素，不好做任何解释”；“空集既不是有限集合，也不是无限集合”。
学生对这个问题的回答不太理想（62.5%的学生回答错误）主要是因为学生对于什么是有限集合的定义理解不深。大多数学生只是感官上觉得集合中的元素如果能被数完就是有限集合，而空集中没有元素他们就主观地认为不能数数了，自然也就不属于有限集合。在今后的教学活动中，必须强化有限与无限集合定义的本质特征，以是否可以与其真子集等价作为判断有限集合与无限集合的标准。
2.5对于“全集是永恒唯一的吗？”的调查结果及分析
全集并不是永恒不变或者唯一存在的，它随着处理问题的差别可以取许多不同的形式，甚至对于同一个问题由于所用数学方法或者看问题的角度不同都可以取不同的全集。但是，很多学生（69.9%）并没有理解全集的实质，做出了错误的回答。
对于全集的认识不能“望文生义”，很多学生的回答只是汉语意思的臆测，比如“全集是指包含所有个体及运算的集合”，“最大的集合”等。这主要是学生不理解全集的本原意义，不知道根本就不存在最大的集合这个事实。因为如果存在最大的集合，那么将其作为新的元素，又可以生出更大的集合。事实上，全集是应用一定方法讨论问题时关于对象范围的限定，问题不一样，方法不一样所选取的全集就可能不一样。
2.6对于“一个集合的补集可以不同吗？”的调查结果及分析
对于问题“一个集合的补集可以不同吗？”的回答，虽然男同学的回答正确率（24.2%）高于女同学的正确率（9.6%），但是总体来看，回答正确率显著偏低（总体回答正确率为14.8%）。
补集确定的基础是全集，学生对于全集理解的偏差会导致对于补集的错误理解。数学是一门前后内容密切关联的学科，对于一些关键的核心概念一定要形成正确、牢固的认识，为后续概念的掌握提供支持，避免“错一处而乱全局”的困境出现。
2.7对于“区间是集合吗？”的调查结果及分析
区间是一种特殊的集合，然而调查结果显示大多数学生（84.1%）并不知道这个事实或者曲解了这个事实。
区间是一类特殊的集合，它的元素均是实数，之所以很多学生否定这个事实，主要在于区间的写法与集合的描述法、列举法的写法存在形式上的不同。学生们在学习集合这个概念之初就熟悉用花括号的记法，而区间用的是圆括号和方括号，这个明显的差异导致许多学生认为区间不是集合。因此，对于集合概念的教学应该突出概念的本质，不要拘泥于概念的形式，也就是要“注重实质，淡化形式”。
3建议
从前述的调查结果可以看出，职前数学教师对于集合概念的理解并不理想，与调查之初的预想存在较大的反差。职前数学教师所掌握的集合知识缺少完整度，知识与知识的联系比较松散；对于概念的理解主观腻断，往往会“望文生义”出现似是而非的错误理解；缺少数学探究的理性精神，学习中很少“打破砂锅问到底”；对于许多有关集合概念的知识存在学习盲区，欠缺部分必要的学科知识。基于存在的这些问题，笔者提出以下一些建议。
3.1对高师课程改革的建议
基础教育课程改革如火如荼，但与之紧密联系的高师课程改革则严重滞后。基础教育课程改革的核心之一就是提升教师的知识与能力，需要高师院校培养适应新课程的新教师，高师课程改革迫在眉睫。2012年，教育部组织出版了各科的《中小学教师专业发展标准及指导》，[1]为高师课程改革提供了依据，广大高师院校应该认真落实，对自身的课程体系进行调整以适应新形势的需要。在具体操作中，职前数学教师教育课程应该消除高等数学与初等数学的界限，并针对当前绝大多数数学教师的数学史与数学文化知识整体欠缺的现状，[2]开设一些诸如《高观点下的初等数学》《数学史》《数学文化》等宏观理解整个数学体系的课程；同时，应该增加数学教学知识类课程的比重，使学生能够把中小学数学的学术形态转化为教育形态，从而体现出数学教师工作的专业性；最后，职前数学教师教育课程应设置实践性及研究性的课程，增强职前数学教师的学习主动性和探究性，达到对于特定专题的深刻理解与掌握。
3.2对职前数学教师教育者的建议
作为职前数学教师教育者，首先应该在思想上重视日常的教学，不能把教学工作简单地理解为照本宣科，而应当想办法做实事，使整个教学过程更具有效性；其次，职前数学教师教育者在教学中应该告诉学生知识的来龙去脉，避免“烧中段”式的灌输教学；再次，职前数学教师教育者应该研究教学过程的规律，把教学与教学研究结合起来，促进自身教学水平的提高；最后，应该改变当前职前数学教师教育者过于偏重科研的现状，把教学绩效与科研绩效放在同等重要的位置，使其愿意投身教学及教学研究。
3.3对职前数学教师的建议
作为一名职前数学教师，应当熟练掌握基础数学教育中的核心数学概念，对不同数学概念之间的关联应该深入理解，比如要知道基础数学教育中有哪些关键的数学概念，哪个概念是某一概念的上位或并列概念，采用怎样的形式设计某个数学概念的教学过程等。职前数学教师如果能弄清楚这些问题，就能够在将来的教学过程中游刃有余，进而避免复制粘贴式地教“教材”，做到因时、因地、因人地用“教材”教。[3]