1概率统计课程的重要性
概率统计是高等院校中涉及面最广、最重要的公共基础课之一,是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数学的重要组成部分。由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性,目前已发展成为一门独立的一级学科。由于这门课程以随机现象为研究对象,而随机现象在日常生活中无处不在,因此它对大学生数学素质的提高和应用型人才的培养具有重要作用。
第一,概率统计是一门重要的方法论课程。众所周知,必然性和偶然性是对立的统一,随机性现象和确定性现象是同时存在,也是无所不在的。概率统计从偶然性这个侧面,从对随机现象的大量观测试验中,排除个别的偶然性因素的影响,从数量的角度把握必然性联系,即统计规律性。它观察问题、分析问题、描述和处理问题的方法与其它学科都有所不同。这种观测试验与理性思维相结合的方式,为科学研究提供了一种新的逻辑推理(如假设检验)方法。总之,从方法论的角度来说,这门课程在培养大学生观察问题、分析问题的能力方面具有其他学科无法替代的作用。
第二,概率统计的理论与方法具有广泛的应用。拉普拉斯曾经说过:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上都是概率的问题。”日常生活中的许多实际问题都需要应用概率统计的理论与方法来解决,它在科学技术与人类实践活动中发挥着越来越大的作用和影响。比如,预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等。由此可见,现代人的生活、科学的发展都离不开概率统计。从某种意义上来讲,概率统计在一个国家中的应用程度标志着这个国家的科学水平。通过这门课程的学习,学生不仅能够积累概率统计的知识和方法,掌握必要的工具和技巧,还可以提高应用概率统计的理论与方法解决实际问题的能力,为后继课程的学习和工作奠定坚实的基础。
2概率统计课程教学的现状和不足
目前,重理论、轻实践是许多高等院校概率统计课程教学的主要特点。这一教学理念,有其固有的优势,但也存在诸多弊端。该教学模式偏重基本的概念和理论,系统性强,有利于学生全面了解概率统计的结构框架,但对实践中行之有效的方法,特别是已被广泛应用的一些概率统计方法(如实验设计等)重视不够,不利于学生将理论联系实际。这就导致了概率统计的教与学相脱节,下面从教与学两个方面进行详细阐述。
从学生学的方面来看,学生普遍觉得概率统计这门课程内容多、散乱,和以前的数学知识缺乏联系,思维方式转变较大,学习起来比较困难。根据笔者的教学经验,学生对诸如大数定律、参数估计、假设检验等知识点的学习普遍感到吃力。以“大数定律及中心极限定理”为例,传统教学过多地强调数学的推导和证明,忽略了直观的实验演示,学生对其缺乏感性认识,往往无法理解其本质。另外,传统教学方式重视对概率统计理论的阐述,但对其现实背景及应用领域的介绍甚少,更谈不上应用概率统计知识解决实际问题,致使学生对其在所学专业的应用知之甚少,学生所学知识与实际应用相脱节。这种教学模式不利于调动学生学习的积极性与能动性,也影响了教学效果。
从教师教的方面来看,教师过度重视计算技巧的演练,重视推理和证明。在教学过程中,教师注重如何将教学内容讲透、讲细、讲全。在这种思想的指导下,加上现行教学内容偏多,教学学时偏少,教师难以将更多的精力放在讲解课程知识点在日常生活中的应用上。比如,在讲解“全概率与贝叶斯公式”时,“血液检验问题”和“敏感性问题调查”等案例虽然具有较强现实背景,但是多数教师侧重于计算技巧和方法的介绍,忽略了问题的背景及实际问题到数学公式的抽象过程的介绍,忽视了培养学生用数学理论解决实际问题的能力。这就致使学生很难将所学知识点与实际相联系,无法运用所学知识去分析和解决实际问题,与培养应用型人才的目标相悖离。
由此可见,传统的概率统计教学已经不能够满足培养应用型人才的需要,迫切需要对概率统计课程进行教学改革。而在概率统计课程中引入数学实验,让学生参与课堂教学,在教师的引导下,自主探索结论,自主解决实际问题,这对培养学生学习兴趣,增强学生对知识的理解,提高学生动手能力和创新思维能力无疑是很有帮助的。
3将数学实验引入概率统计课程教学的必要性
数学实验,其实是一类新课程的统称,泛指学生在教师的指导下用计算机和数学软件学习数学。它强调以学生动手为主,在教师的引导下,选择合适的数学软件,分析和解决一些实际问题。
由前所述,概率统计具有很强的应用性,但是传统的教学使学生仅仅学到了其理论与方法,既不知道理论的来源,也不知道理论的去处,应用于现实更是无从谈起。在这门课程教学中引入数学实验,可以极大地改变这种情况。
第一,概率统计教学中引入数学实验,可以提高学生学习的积极性。俗话说:“兴趣是最好的老师”。在概率统计的课堂教学中,增加数学实验,让学生自己动手去做,去观察,通过观察得出结论,这样,学生对所学知识就有了充分的感性认识,必将激发起学生学习的兴趣。例如,在学习了古典概型的定义之后,让学生思考这样一个有趣的问题:甲、乙两位棋手棋艺相当,他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇,比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛,结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛,问应该如何分配这1000元奖金才算公平?有些学生可能想当然认为甲应得奖金的2/3,乙应得奖金的1/3。这个结果合不合理呢?初学的学生未必能立即想到用古典概型的定义去解决此问题。于是可以先让学生进行数学实验:在甲已经两胜一负的基础上,在计算机上模拟两位棋手以后的比赛。假定他们在以下每一局的比赛中胜负的机会各半。数学软件的随机函数可以产生随机数0或1,0与1出现的机会各一半。用随机数1表示甲胜,随机数0表示乙胜。连续模拟1000次,每次模拟到甲乙两方有一方胜了三局为止。1000次模拟结束后,计算两棋手每次的平均奖金,就是该棋手应得的奖金。模拟结果发现并非甲得2/3,乙得1/3。于是充分调动了学生进一步探究的兴趣,此时再引导他们利用古典概型的定义解决这个问题,让他们体会到用概率统计的知识解决问题的乐趣,激发他们学习的积极性。
第二,概率统计教学中引入数学实验,可以提高教师教学的效率。概率统计是研究随机现象统计规律性的一门学科,而要想获得随机现象的统计规律性,就必须进行大量重复试验,这在有限的课堂时间内是难以实现的。为此,在概率统计教学中引入数学实验,通过计算机图形显示、动画模拟和数值计算等,形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境,从而大大增加了教学信息量,提高了学习效率,有效地刺激了学生的形象思维。另外,利用数学实验对随机实验的动态过程进行演示和模拟,如:投掷骰子实验、二项分布实验、泊松定理实验、随机变量分布实验、点估计相合性实验、中心极限定理的直观演示等,再现了抽象理论的研究过程,加深了学生对理论的理解及方法的运用。与此同时,让学生在接受理论知识的过程中还能体会到现代化信息技术的魅力,达到了传统教学无法实现的教学效果。
第三,概率统计教学引入数学实验,可以培养学生应用概率统计的知识解决实际问题的能力。中国科学院院士、首届国家最高科技奖获得者吴文俊先生曾经指出:“任何数学都要讲逻辑推理,但这只是问题的一个方面,更重要的是用数学去解决日常生活中、其他学科中出现的数学问题。”即数学教育不能只强调培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数学运算能力,还应该强调“用数学”的能力。概率统计作为一门应用性很强的学科,在教学中培养学生应用概率统计的知识解决实际问题的能力显得尤为重要。实际应用中的概率统计问题,往往涉及大量甚至是海量的数据,单纯依靠手算远远不能满足实际问题的需要,这就迫切需要将概率统计与SAS、SPSS、Matlab等软件包相结合,也即在概率统计的教学中引入数学实验。数学实验的引入必将激发学生解决实际问题的兴趣,培养学生解决实际问题的能力。
4概率统计教学中数学实验的组织实施
将数学实验引入到概率统计课程教学是一种全新的教学理念,尚未形成完善的教学体系。但部分高等院校已经进行了初步的尝试和探索,并取得一定的成绩。下面笔者结合教学实践浅谈概率统计教学中数学实验的组织实施。
第一,概率统计教学应以课堂教学为主,以数学实验为辅,结合具体教学内容安排相应的数学实验。例如,在讲连续型随机变量时,指导学生运用数学软件,研究服从均匀分布、正态分布和指数分布的数据的特征,画出其分布函数和概率密度函数的图形,并结合教材实例,利用软件包求解有关事件的概率。根据学生学习的特点和记忆的规律,课堂教学与数学实验的最佳比例为2:1,即在两次课堂教学后进行一次数学实验。这样既有利于理论知识的掌握,也有利于培养学生理论联系实际的能力。
第二,数学实验的设计除应与课程内容紧密结合外,还应具有应用性和趣味性。例如,在讲授n重伯努利试验之后,可以设计实验“碰运气能否通过英语四级考试”:假如大学英语四级考试除写作占15分外,其余85道题目都为单项选择题,每道附有四个选项,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?这种既实用又有趣的实验课题,可以大大激发学生的学习兴趣。通过引导学生思考,假定作文分数为及格的情况下,85道选择题必须答对51道以上才能通过考试,引导学生将问题抽象为85重伯努利试验,并建立相应的数学模型,利用数学软件计算出靠运气通过考试的概率。通过自己动手完成实验,学生可以感受到概率统计的思想和方法在现实生活中的应用,并乐于接受新的理论以及将其用于实际问题的分析和探讨上。由此可见,新颖有趣的实验可以激发学生学习的热情及科研兴趣,深化了他们对相应知识点的理解和认识。
第三,对数学实验的实验报告应予以充分重视,并作为评定实验成绩的主要依据。在每次数学实验结束后,教师应督促学生认真完成实验报告,并根据实验报告的质量进行评分。实验报告评分的最基本标准是真实性。这要求学生自己动手完成实验,记录下自己观察到的现象并进行分析。实验报告评分的更高标准是创造性。对于有创造性的报告,可以给予高分作为鼓励。在每次数学实验开始前,教师应对前一次实验报告中存在的问题及主要创新点进行点评,并鼓励学生加入讨论。教师在引导学生学好基础知识的同时,还应注重技能的训练和能力的培养,切实提高学生分析问题和解决问题的能力。
关键词：概率论与数理统计；专业案例；教学改革
作者简介：牛银菊（1965-），女，甘肃甘谷人，东莞理工学院计算机学院，副教授；贾继红（1965-），女，山西太原人，东莞理工学院计算机学院，副教授。（广东东莞523808）
基金项目：本文系东莞理工学院教育教学改革与研究重点项目（项目编号：2012-4）的研究成果。
中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1007-0079（2013）32-0132-02
根据应用型工科本科院校培养高水平应用型人才的目标，教师需结合“概率论与数理统计”的课程特点，让学生了解“概率论与数理统计”在他们所学专业中的应用，加强学生用“概率论与数理统计”知识解决实际问题的能力，达到高水平应用型人才的培养要求。[1，2]
为了使东莞理工学院（以下简称“我校”）“概率论与数理统计”的教学达到高水平应用型人才的培养要求，对大一和大二的学生分别做了问卷调查，以了解学生对该课程在高中阶段的学习情况和系统学完之后存在的问题。本文基于我校学生的实际情况和教学中存在的问题，探讨了应用型工科本科院校“概率论与数理统计”的教学方法。
一、“概率论与数理统计”教学现状
1.中学阶段的学习情况
在新课程改革的背景下，中学的许多教学内容做了大量调整，特别是“概率论与数理统计”部分的内容增加的幅度较大，教学要求也提高了好多。为了让学生在大学阶段继续学好“概率论与数理统计”，大学老师需了解学生在中学阶段对该门课程的学习情况，以便在重点内容的讲解、难点问题的突破、新旧内容时间的安排等方面做出合理的调整，达到学生所希望的“该详讲的内容详讲，该略讲的内容略讲”的目的，激起学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，同时对教师完善教学内容、改进教学方法、丰富教学手段起到一定的促进作用。为此，对2012化学和化工两个专业的157名同学在中学阶段的学习情况做了如下的问卷调查，共发出问卷157份，收回有效问卷151份，详见表1。
调查结果表明：已学概率论部分大多数同学已掌握，仅有部分同学需加强；已学数理统计部分绝大多数学生只是了解；大多数学生认为该课程比较难学，且学习兴趣不高。
2.大学阶段教学中存在的问题
为了寻求“概率论与数理统计”与工科专业知识的结合点，使学生更好地掌握“概率论与数理统计”的有关知识，并在创新实践活动中运用所学知识解决实际问题，进而培养学生的创新意识和创新能力。为此，对2010工程管理的96名同学对“概率论与数理统计”课程的学习情况做了如下问卷调查，共发出问卷96份，收回有效问卷92份，详见表2。
调查结果表明：多数同学认为该课程比较难学，与所学专业专业课的联系不清楚，不能利用所学知识解决实际问题，且学习兴趣不高。
3.教学现状分析
通过对问卷调查的分析，可知学生在该课程的学习中存在以下问题：大多数学生认为该课程难学、学习的兴趣不高、不知道如何利用所学知识解决实际问题以及不了解与专业课之间的联系。针对以上教学中存在的问题，从强化学生的求知欲、激发学生的学习兴趣、培养学生的创新能力以及解决问题的能力等方面进行了教学改革，相应地提出了一些适合应用型工科本科院校“概率论与数理统计”教学的措施，以期与同仁商榷。
二、教学方法的改革
1.调整教学内容，激发学生的求知欲
概率论的部分内容（如随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、独立重复试验等）已放到高中教材，大多数学生已掌握；[3]另一方面，大学“概率论与数理统计”教材虽然根据需要进行了修订，但为了该课程的完整性，概率论部分的内容仍有重复。在选用现行教材的前提下，任课教师需做好与中学教学内容的合理衔接，结合实际情况适当调整“概率论”部分与“数理统计”部分的教学课时数，避免重复讲授已学部分的内容。如概率论部分的讲解可采取复习巩固的形式，重点强调关键的知识点及每个知识点的注意事项，抓住学生喜欢的话题预设问题，以引起学生渴求知识的欲望；根据不同专业有针对性地对教学内容进行调整，以满足相应专业对该门课程知识的需求；在讲数理统计部分时，增加统计推断、统计预测和统计决策的内容，介绍常用统计方法的思想和原理，以加强学生处理数据的能力；推荐学生使用Excel、SPSS等软件使复杂的计算简单化，省下的时间留给数理统计专业案例的讲解，将会收到较好的教学效果。
2.加强师生互动，激发学生的学习兴趣
传统的课堂教学是以老师讲授为主，学生听讲为辅。要改变问卷调查中绝大多数学生认为的“该课程比较难学，学习兴趣不高”的现状，需抓住现阶段学生思维活跃，有和老师互动交流的愿望，在教学中须加强师生间的互动，采取讲练结合、提问回答等多种形式以改变学生所处的被动地位，提高学生学习的主动性，激发学生学习的兴趣。如，在引入“数学期望”的概念时，可以提出问题：如果要对一次英语六级考试中两个学院学生的成绩进行比较，只有成绩单是无法立即得到答案的，应该如何比较呢？学生们自然会想到把两个学院的成绩各自平均一下，通过比较平均成绩得出结论。老师在肯定学生答案的同时，引导学生思考，如果用随机变量的所有可能取值来解决这个问题，应该如何做？学生们当然会联想到用加权平均的概念，只要把概率作为权数，数学期望的定义也就水到渠成了。这样讲，学生容易掌握，记得更牢，用它们解决实际问题更加灵活。
为了利用参与感提高学生听讲的兴趣，可以穿插学生之间的小组讨论、开设小型的研讨会等多种互动形式。讲解抽象的数学概念时，通过提出实际问题引发学生主动思考，在讨论的基础上让学生谈谈自己的想法，从而熟悉从工程背景经过抽取共性得到这些概念的过程，教师对学生的想法简单总结评述后引出新的概念。这样，学生接受起来会更快，理解会更深。
3.结合专业案例，培养学生解决实际问题的能力
根据概率论的实用性，在教学过程中可以选择一些实例，强化实际背景部分的讲解工作，使学生更好地掌握一些重要概念的实质，为熟练应用他们解决实际问题奠定基础，从而增强学生的数学建模能力和创新思维能力。[4]案例教学法是一种理论联系实际，融知识传授、能力培养、素质教育于一体的教学方法。通过案例把学生引导到实际问题中，在分析与讨论的基础上，提出解决问题的途径和基本方法。如，在讲解正态分布时，可以分以下两部分进行：第一，先从学生最关心的学习成绩入手，通过分析讨论使学生明确他们的学习成绩是一个随机变量，会受到他们的学习水平、老师的教学水平、试卷难易程度等因素的影响，在正常情况下，他们的成绩近似服从正态分布；第二，引导学生调查统计他们年级高等数学成绩，并绘出成绩直方图，再与正态分布的密度函数曲线做比较，分析两者之间的差异。若两者出现明显差异，则说明某一随机因素不正常，其中原因或是学生复习准备不充分或是老师的教学方法不当或是试题太难。在分析的基础上找出其内在原因，这样，学生就可以深入浅出地理解课程的知识点，进一步增强他们的应用意识和学习兴趣。
根据概率统计的广泛应用性，可以根据各章节的内容和学生的工程背景，编写许多概率统计在不同领域中的应用案例。对于不同专业的学生，结合不同学科特点构建与本专业相对应的概率应用例子，使案例教学法与概率论统计知识有效地结合。[5]在“概率论与数理统计”课程的具体教学过程中，根据多数学生不了解概率统计课程与所学专业的联系，不知道怎样运用所学知识解决实际问题的现状，可对不同专业的学生列举该课程在不同学科的用途。如，对工程管理专业的学生，可选择工程造价方面的问题，通过工程造价的数据分析与统计，让学生明确要解决与数据有关的问题，必须学习“概率论与数理统计”的有关知识；然后，通过工程项目风险预测、项目盈利能力预测等专业问题，引导学生体验用“概率论与数理统计”的有关知识解决这些专业问题的思路及过程，让学生真正懂得学有所用、学有所值，为更好地运用概率论与数理统计知识解决专业问题奠定坚实的基础。又如，对财经类专业的学生，可使用案例“假设某企业有20000个相同层次的人参保，每年每人付10元保险费，一年内一人死亡的概率为0.004。死亡时，其家属从保险公司能获2000元，试问：平均每户支付赔偿金4.2元至5.9元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万元的概率是多少？”学生通过这些案例的学习，可以亲自体验使用概率统计知识进行数学建模的全过程，加深对概率统计知识的理解，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
4.改进考核方式，培养学生的应用能力和创新意识
在对教学方法进行改革的基础上，可对“概率论与数理统计”课程的考核进行相应的改进。在以往的教学中，由于没有实操课及自主作业的内容等方面的教学，其成绩根据期末考试确定。但是，一次考试的偶然性较大，并不能真实地反映学生的实际水平。根据教学方法的改革，将学生成绩的评定由“期末考试确定”调整为“期末70%+平时10%+实操20%”。实操部分的考题是：让学生自主选题，选取与专业联系密切的实际问题，通过查阅相关的资料解决实际工程问题。实操可以单独完成，也可以几个同学一起完成，其答案没有唯一的评价标准，成绩大多可得到18分以上，即以鼓励性评价为原则。这样，既能鼓励学生创造性地对实际问题提出解决方案，又能培养学生的应用能力和创新意识。
三、结束语
近几年学生对“概率论与数理统计”课程的评教结果表明：本文提出的一些适合应用型工科本科院校教学的措施，大多数学生给予了较高的评价。学生的认同无疑为继续进行教学改革增添了信心，将会为我校办学目标“建设成为特色鲜明的高水平应用型地方大学”的实现起到一定的推动作用。
参考文献：
[1]周兴才.应用型本科院校概率论与数理统计教学研究[J].襄樊学院学报，2011，32（5）：60-63.
[2]牛银菊.概率论与数理统计教学方法探讨[J].东莞理工学院学报，2012，19（3）：111-114.
[3]章山林.工科《概率论与数理统计》的教学改革[J].常熟理工学院学报（哲学社会科学），2008，（12）：109-100.
关键词：统计与概率随机思想数学思想联系
一、统计与概率中，随机思想与其它思想方法之间的内在联系
1.随机思想与分类、归纳等确定性数学思想的联系
随机包含两方面的含义：一方面，单一事件的不确定性和不可预见性；另一方面，事件在经历大量重复试验中表现出规律性。虽然随机思想是从解决现实世界中的不确定性问题发展起来的，但随机思想不过是高维的确定性问题作低维处理的一种方式。比如：每次掷骰子的结果，应该是其初始条件与过程中很多细微因素共同形成的，因这些因素无力掌握和控制它们，才将其中的很多因素统一地以一个随机变量来表示。其实，确定数学亦如此，在其数学模型的建立过程中也丢掉了不少“弱”因素。随机数学与确定数学仅仅只是处理方法上的差别而已。
从随机思想的起源来看，又是分类、归纳等确定性数学思想的进一步发展和具体运用。事实上，作为定量研究随机思想的概率和统计方法最先起源于归纳法，概率的发展经历了从归纳法到概率归纳法再到概率论的发展过程，而统计思想则是由局部到整体、由特殊到一般，是归纳法在数学上的具体应用。
2.随机思想与统计、概率思想的联系
概率是从数量的角度来研究大量的随机现象，从中寻找这些随机现象所服从的统计规律，并用严格的数学方法研究各种随机现象的统计规律之间的相互联系。统计思想则是从一组样本分析、判断这个系统的状态，或判定某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或计算出发生错误判断的概率。尽管随机思想与统计、概率思想研究的都是随机现象，但随机思想更基本，因为无论是对概率还是统计的研究，都必须建立在事件的发生具有随机性这一前提之上，没有随机思想，就没有统计与概率。而概率与统计思想则更深刻、更精确，是对随机思想的量化发展。随机思想既具有偶然性一面，又具有必然性一面，然而必然性并不会自动显现出来，它总是隐藏在偶然现象背后，那么如何来发现和把握偶然现象背后的必然性呢？这就需要统计和概率的方法来准确把握――显示其统计规律和概率规律。比如：抛一枚硬币，究竟是正面朝上还是反面朝上？通常被认为是完全随机的，但这是根据经验或直觉得出来的，因此它只是一种经验性的随机思想，而如果通过统计的方法，计算出某一次试验中正面朝上和反面朝上的频数，再进一步通过概率方法计算出正面朝上和反面朝上的概率，那么就可以揭示出这一试验的内在规律了――正面朝上和反面朝上的概率几乎相等。
3.随机思想与等可能性假设的联系。
随机思想与等可能性假设之间存在着密切的联系，这种联系主要表现为随机思想与等可能性假设之间既对立又统一。一方面，这两者之间存在着差别，随机思想是人们对现实世界中大量随机现象的一种本质认识，而等可能假设则是人们为了便于研究问题所做的一种理想化假设，前者是一种规律性认识，后者是一种假设；另一方面，这两者之间又存在统一性，随机思想是研究随机现象的立足点和出发点，而等可能假设则是研究随机现象的一种具体方法，它是随机思想在研究随机现象过程中的具体运用。没有等可能假设，随机思想就只能是空想。随机总会表现为一定程度的等可能性，如果不存在丝毫的等可能性，那么这样的随机又怎么能称得上随机呢？同样，没有随机思想，等可能假设也就成了无源之水、无本之木。比如：抛硬币的试验，尽管我们都知道并不存在真正意义上的等可能事件，但我们却可以假定每次试验都是等可能的，否则我们就无法进行研究。
二、概率与统计与其它数学思想之间的内在联系
1.统计概率与分类思想的联系
分类思想方法对统计与概率的研究有着基础的重要性，深入领会分类思想方法是灵活运用其它各种思想方法的前提。统计与概率中所涉及的许多问题，最后都要通过分类思想方法转化为确定性问题。比如：古典概率问题的计算需要应用排列与组合，而排列与组合又离不开分类的方法。特别是对于一些比较复杂的概率问题，由于试验的复杂性和条件的特殊性，试验结果往往不是等可能出现的，一般很难运用统一的方法进行处理，这时常常要按照一定的标准，采用一定的方法，将试验结果分成若干个“类”来进行计算；再如统计中的分层抽样计算也需要运用分类的思想方法。
2.概率思想与归纳思想的联系
归纳与概率之间存在着密切的联系。归纳法中的概率归纳推理是从归纳法向概率法发展的标志。概率归纳推理是根据一类事件中部分事件出现的概率，推出该类所有事件出现的概率的不完全归纳推理，是由部分到全体的推理，其特点是对可能性的大小作数量方面的估计，它的结论超出了前提所断定的范围，因而是或然的。从某种程度上来说，归纳是一种特殊的概率，概率方法是归纳法的自然推广，概率是归纳法发展到一定程度的必然产物。概率方法本身是对大量随机事件和随机现象所进行的一种归纳，是对随机事件发生的结果的归纳，它并不关心事件发生的具体过程；而归纳法不仅关注事件发生的结果，它还关注事件发生的具体过程，它承认事件发生过程中的规律性，并以此为基础来研究事件发生过程中的规律性。归纳法主要适用于少变量因果关系的简单事件所决定的问题；而概率方法则主要适用于多变量因果关系的复杂事件所决定的问题。从归纳法到概率方法反映了人们的认识从确定性走向不确定性的一种历史必然。
关键词：概率论与数理统计研究生考试高等数学
在考研的高等数学中，满分是150分，概率论与数理统计的内容，34分，占大约22.7%，其中选择题8分（两小题），填空题4分（一小题），解答题22分（两大题）；本文对于概率论与数理统计的内容，根据公式（或概念）的难度，将其难度划分为若干等级，进行打分；对于题型，根据解题时所用的知识点的多少，也将其难度划分为若干等级，进行打分.最后，根据这两个等级，对难度系数进行综合打分.具体解释如下：
对于公式，根据其难度，分为三个等级，其难度系数分布赋予1、1.5、2.比如，古典概型的公式，P（A）=，其中n为事件A的样本点数，n为样本点总数，该公式很简单，难度系数定义为1；再比如，全概率公式，比较复杂，难度系数定义为1.5；至于连续型随机变量（简记为r.v）的条件密度公式f（y|x）=，其中f（x，y）是连续型随机变量（随机变量简记为r.v）（X，Y）的联合密度函数，f（x）为（X，Y）关于X的边缘密度函数，即使f（x，y）和f（x）都求出了，用条件密度公式f（y|x）=时，还需要考虑两者的公共定义域，因此难度系数规定为2.
对于有关概念，也根据其难度，分为三个等级，其难度系数也分布赋予1、1.5、2.比如：独立性概念，比较简单，难度系数定义为1；再比如，t-分布的定义，涉及一个标准正态分布和一个？掊-分布，且还要求独立，涉及的内容较多，难度系数规定为1.5；至于极大似然估计的概念，比较难理解，且离散时和连续时，其似然函数还不一样，故难度系数规定为2.
对于题型，根据其解题时所用到的知识点的多少，对其难度进行打分.所用的知识点多，难度系数就高，比如：古典概型的计算；一般只用到排列与组合的知识，难度系数定义为1；再比如：涉及极大似然估计的题，解题时要用到求导数的知识，解方程的知识，故难度系数定义为2，有时还需验证无偏性，因此难度系数定义为≥2.
对于所用的知识点，也根据知识的难易和运算量进行打分，比如：对于一般的积分，难度系数规定为1；对于积分且需要讨论的，难度系数规定为1.5；对于在一个题目中，多次用积分运算的，比如：对于连续型r.v方差的计算，其难度系数也定义为1.5.
下面我们分析概率论与数理统计的主要内容和题型，对其综合难度系数进行如下分析.
难度系数表
近年来，研究生考试中，解答题22分（两大题），基本上是考查学生综合运用知识的能力，这类考题其综合难度系数一般，下面针对近年来的试题作具体分析：（下面的1―10题，见文献[1].11―12题，见文献[2]）.
1.（2007年数学一、三（23），11分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=2-x-y，0
（1）求P{X>2Y}；（2）求Z=X+Y的概率密度f（z）.
难度分析：求概率，用积分，难度系数为1；求二维随机变量的函数的密度函数，公式难度系数1.5；再用积分计算，且涉及讨论，难度系数为1.本大题的难度系数为3.5.
2.（2007年数学一、三（24），11分）设总体的概率密度为
f（x；θ），0
其中参数θ（0
（Ⅰ）求参数θ的矩估计量；
（Ⅱ）判断4是否为θ的无偏估计量，并说明理由.
难度分析：求矩估计量，难度系数为3.5，再验证无偏性，难度系数1，本大题综合难度系数为4.5.
3.（2008年数学一、三（22），11分）设随机变量与相互独立，X概率分布为P{X=i}=（i=-1，0，1），Y的概率密度为f（y）=1，0≤y≤10，其他，记Z=X+Y
（1）求P{Z≤|X=0}；
（2）求Z的概率密度.
难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求随机变量函数的分布，难度系数为3，综合难度系数为5..5.
4.（2008年数学一、三（23），11分）X，X，...X是总体为N（μ，σ）的简单随机样本.记=X，S=（X-），T=-S，
（1）证T是的无偏估计量；
（2）当μ=0时σ=1时，求DT.
难度分析：证明无偏性，需要求期望，难度系数为3，再求方差，难度系数为1，综合难度系数为4.
5.（2009年数学三（22），11分）（22）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=e，0
（I）求条件概率密度f（y|x）；
（II）求条件概率P=[X≤|Y≤1].
难度分析：求条件密度，难度系数为3；再求条件概率，用积分，难度系数为1，综合难度系数为4.
6.（2009年数学一、三（23），11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数.
（Ⅰ）求P{X=1|Z=0}；
（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.
难度分析：求条件概率，难度系数为2.5；求联合概率分布，难度系数为1，综合难度系数为3.5.
7.（2010年数学一、三（22），11分）设二维随机变量的概率密度为
f（x，y）=Ae，-∞
求常数A及条件概率密度f（y|x）.
难度分析：求常数，用积分，难度系数为1；再用积分求边缘密度，难度系数为0.5；最后求条件概率密度，难度系数为2.综合难度系数为3.5.
8.（2010年数学三（23），11分）箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个.现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.
（1）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（2）求Cov（X，Y）.
难度分析：求二维随机变量（X，Y）的概率分布，难度系数为2；求Cov（X，Y），公式难度系数为1.5；综合难度系数为3.5.
9.（2011年数学一、三（22），11分）设与的概率分布分别为
且P（X=Y）=1.求：
（1）（X，Y）的分布；
（2）Z=XY的分布；
（3）X与Y的相关系数ρ.
难度分析：求（X，Y）联合分布律，难度系数为2；求随机变量函数的分布律，难度系数为2；求相关系数，难度系数为1.5；综合难度系数为5.5.
10.（2011年数学三（23），11分）设在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成.
（1）求边缘密度f（x）；
（2）求f（x|y）.
难度分析：求连续型随机变量（X，Y）的条件概率密度，综合难度系数为4.
11.（2013年数学三（22），11分）设（X，Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为f（x）=3x，0
在给定X=x（0
（1）求（X，Y）的概率密度f（x，y）；
（2）求Y边缘概率密度f（y）；
（3）求P（X>2Y）.
难度分析：已知边缘密度f（x）和条件密度f（y|x），求（X，Y）的概率密度f（x，y），难度系数为1；求边缘概率密度，用积分且讨论，难度系数为1，5；求概率，难度系数为1.综合难度系数为3.5.
12.（2013年数学三（23），11分）设总体X的概率密度为f（x，θ）=e，x>00，其他，
其中θ为未知参数且大于零.X，...X为来自总体X的简单随机样本.
（1）求θ的矩估计量；
（2）求θ的极大似然估计量.
难度分析：求的矩估计量，难度系数为3.5；求的极大似然估计量，难度系数为3.5.综合难度系数为7.
从上面的分析可见，解答题的试题都是出现在难度系数≥3.5的部分.因此，同学们在考研复习时，要重点复习难度系数表中综合难度系数≥3.5的内容.至于填空题和选择题，主要考查同学们对基本概念的理解及一定的综合运算能力，只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了.
参考文献：
关键词：计算机模拟；概率论课程教学；蒙特卡洛方法
中图分类号：G424文献标识码：A文章编号：1009-3044（2016）25-0163-02
在概率论的发展历史中可以看出，为了进一步分析和研究随机现象的统计规律，一些老一辈的数学家制定了诸多随机试验，其中最为典型的有蒲丰的投针实验、葛尔顿钉板试验等。这些试验在一定程度上凸显出来老一辈数学家的智慧。因此在现代的概率论课程教学过程中拥有着非常重要的意义。而随着现代科技的不断进步和发展，计算机技术逐渐得到普及，而运用计算机来对早期数学家所设计的随机试验进行实施，能够让概率论教学效果得到有效提升。
1计算机模拟随机试验中的问题探讨
在很早之前，大部分数学家想要实验都是依靠纯手工的方式，如掷硬币实验就是靠早期数学家一次次抛掷的方法，来严重硬币的正反面出现概率，如表1。
此外还有一个较为经典的葛尔顿钉板试验，其目的是为了验证频率的稳定性，其是在一块斜立木板上，依次钉上钉子，每一个白点代表一个钉子，且钉子之间的距离均都相同，上面钉子刚好处于下面两颗钉子的中心位置，从入口处将一个半径小于钉子间距的小球放入其中，当小球碰撞到第一排钉子后，会以百分之五十的概率滚向左/右下，然后触碰到第二排钉子，以此循环直至小球从某一个格子内滚出为止。当放入小球数量为1时，则事先难以准确地判断出小球会想那个方向的格子滚去，但如果小球数量增多并达到一定数量时，则其底部所呈现的曲线则基本上一致，均呈现一种橄榄球状[1]。由此可得出，小球落入到每个格子的频率均都稳定，而实验中小球构成的曲线则称之为正态分布，见图1。
此外，如果多次测量一个物体的长度，其平均值会是在处于某个固定值左右。而在目标均匀性实验及灯泡寿命试验等一系列重复性实验也均都是浮动在某固定值上。在设计这些试验不仅较为枯燥，而且还消耗较长的时间，尤其是在进行破坏性实验时，例如寿命试验等，则就需要消耗过高的成本，而若将这些试验运用计算机进行模拟试验，则就能让一系列问题得到有效解决，具有非常显著的教学作用。不过从真实试验向计算机模拟试验转变，首先要做的就是有效解决随机数产生、假设检验记忆蒙特卡洛方法等问题。
2计算机上随机数的形成方法
2.1均匀随机数的形成
计算机上随机数产生方法中最为常见的有余数法：
令：yn+1=λyn（modM），y0=a
再令xn=yn/M
其中λ，M为任意正数，a为正奇数。先给定y0=a，用M除以λyn所得的余数记为yn+1，用yn+1/M得到xn.关于参数的选择，从公开报道得知较适用的有：a=1，λ=517，M=242。
此外，还有一种较为常用的方法，即混同余法：
令yn+1=λyn+b（modM），y0=a
再令xn=yn/M
用混同余法得到（0，1）区间上均匀分布的50个随机数的程序为：m=2～16；b=27421；x0=2；
LinearCong[x_]：=Mod[bx+7，m]；data=Table[LinearCong[x]/m/N，{x，x0，49+x0}]；h=Length[data]
2.2利用[0，1]区间上均匀分布的随机数和反函数定量得出分布的随机数
将单调上升的连续分布函数或已给分布密度设为F（x），结合（0，1）中均匀分布随机变数，得出方程为F（y）=Y，解出的结果为y=F-1（Y）是以F（x）为分布函数的随机变数。
2.3通过mathematics软件产生随机数
在外挂软件包mathematics中有一个统计软件包，其中DrscreDistribution能够产生各种分布的随机数。
3随机数的分布拟合
借助于上述的几种方法所获取的数属于一种伪随机数，这种通过一定计算方法所获取到了数，从本质上讲并不能够称之为随机数，不过能够通过数据整理统计的独立性检验及分布检验方法，让让其得到实践应用。通常分布拟合的步骤流程主要分为三个，首先对数据进行分组，通过对其频数进行统计，将条形图画出，然后既能够大概的获得随机变量所形成的概率密度图，然后在以区间估计均值和方差为基础，实施分布的假设检验[2]。例如：使用一台自动包装机，其打包重量均为100kg，然后从某天生产产品中随机抽取130包进行重量测量。将区间划分成十六个相同区间，均为0.5kg，然后对130个数据在各个子区间中的落下频数和频率进行计算。通过计算机的分组统计命令获取到落在各个小区间的频率，让狗将频数图画出，由图可得出其随机变量为近似服从正态分布。然后将样本的期望和方差计算出来。
4蒙特卡洛方法
通过蒲丰的投针试验来阐述蒙特卡洛方法，让其教学应用展现出来。在平面上将一个相等距离a的平行线画出来，然后将任意长度l（l
假设针的投掷中心为M，其中心电距离最近一条平行线的距离为x，与平行线之间的构成的夹角以T表示。由此可得出：0
按照针与一条平行线相交的充分必要条件为x
5随机模拟在教学上的应用分析
近几年来，在现代概率论课程教学过程中，通过计算机模拟应用能够制定出多个教学动画，其中较为典型的有高尔顿钉板试验、捕鱼问题以及贝努力大数定律等[4]。通过概率论试验可以使传统难以理解的概念逐渐变得既生动又具有抽象性的理论，实现概率论的情绪性和直观性，从而让学生学习概率论的兴趣得到进一步提升。而通过计算机模拟开发的实验及动画，则能够让教师对信息技术的使用能力得到提高，让课程教学效果得到进一步改善[5]。而且，在实验过程中，运用一系列的计算机数学软件，也能够让学生科学计算的能力得到有效培养，对学生的日后发展和学习有着非常关键的作用。
6总结
总而言之，从应用计算机模型对数学概率论中的典型问题和实验可以得出，计算机模型能够让概率计算和数据处理变得更加简单、便捷，能够让概念的难以理解现象逐渐转化成既生动又具有抽象性的理论，促使其知识越发直观、清晰，从而全面激发学生对概率论的学习兴趣因此，计算机模拟应用于概率论课程教学中，不但能够让教学效率得到提升，而且对教学质量的提高也有着一定的促进作用。
参考文献：
[1]郝晓斌，董西广.数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J].经济研究导刊，2010（16）：244-245.
[2]闫磊，杜富强，王博.计算机数值模拟技术在土建专业课程教学中的应用[J].科技信息，2012（1）：493+506.
[3]史娜.SPSS软件在《概率论与数理统计》课程教学中的应用研究[J].甘肃联合大学学报：自然科学版，2012（6）：107-110.
概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，它是高等院校各专业开设的重要的基础数学课程之一。该课程的最大特点是其应用特色，其理论与方法已被广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术、军事科学、工农业生产等各个学科和领域。因此，如何运用该课程的理论知识解决实际问题具有非常重要的研究意义。每年一次的全国大学生数学建模竞赛是目前各高校的规模较大的课外科技活动之一。数学建模是一门运用数学工具和计算机技术，通过建立数学模型来解决现实中各种实际问题的新学科。它通过调查，收集数据、资料，观察和研究其固有的内在规律，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数学模型，即将现实问题转化为数学问题。纵观历年数学建模竞赛试题，像高等教育的学费问题、北京奥运会人流分布、dna序列分类问题、dvd在线租赁问题及医院病床的合理本文由收集整理安排等问题都不同程度地涉及到了概率论与数理统计的相关知识。笔者多年来一直为理工科的本科生讲授概率论与数理统计课程，并每年辅导和指导全国大学生数学建模竞赛，所以与同事们一直都在探索如何深化概率论与数理统计这门课程的教学改革，使其与数学建模思想能有机结合。本文将从以下几方面进行探讨研究。
一、概率统计教学中融入数学建模思想的重要性
传统的概率论与数理统计课程的教学，可以简单地归纳为：数学知识+例子说明+解题+考试。这种模式虽然使学生在一定程度上掌握了基础知识，提高了计算能力，也学会了运用所学知识解决课后作业和应付考试。但也不难看出，这种教学方式与实际严重脱节，学生学会了书本知识，但却不知在所学专业中该如何运用，这不仅与素质教育的宗旨相违背，也极大地削弱了学生学习这门课程的能动性，从而也影响了教学效果。数学建模的指导思想恰恰在于培养学生运用所学理论知识来解决现实实际问题。这不仅仅是这门课程对学生的教育问题，更是顺应当前素质教育和教学改革的需要问题。
二、在课堂教学中融入数学建模思想
对于讲授概率论与数理统计这门课程的教师来说，有着非常重要的任务，那就是如何教好这门课程，即如何使学生通过对这门课程的学习而增强其对概率统计方法的理解与实际应用能力。
1.教学内容上数学建模思想的渗透。众所周知，教师对教学内容的把握起着不容忽视的作用。有效的教学是依赖于教师对该课程的内容有着全面的和深刻的理解。概率统计中的一些概念、性质、模型的应用确实有些难度，在日常教学中可以通过精选例题、切近现实生活，使学生逐渐深化对相关知识的理解，即讲课的内容生活化、趣味化，生活中的概率统计问题模型化。在概率统计里这些趣味性的例子比比皆是！比如摸球、投掷骰子等常见的游戏，父母的身高对子女的影响”、男女生人数的均衡对一个班级学习效果的影响”等发生在身边的事。在概率统计这门课程中数学模型的影子也随处可见！比如像降雨概率、人体舒适度指数、超市银台处的等待服务时间等这样的随机现象问题都需要将实际问题数量化，然后对研究对象做出判断，从而解决问题。教学内容中也可插入一些反映社会经济生活的背景与热点问题，使课堂教育跟上时代步伐。如有奖促销问题、保险赔偿金确定问题、交通事故问题等，这样的内容都旨在培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力，也就是培养学生的建模能力。
2.教学方法中融入数学建模思想。在教学中，教师的责任更大地体现在对学生的引导能力，通过引导使学生运用自己的能力来解决相关的问题。这样使学生不但能够学到严谨的理论知识，同时也提高了学生分析问题和解决问题的能力。在教学中，我们主要采用精讲与导学相结合的方法，同时在课堂教学的各个环节中也可恰当运用讨论式、启发式、归纳类比式等教学方法。在运用各种教学方法中都要充分关注学生的参与性，在与学生的互动中挖掘出课本内容中的数学建模思想，使其显化”出来。比如在讲解随机事件和古典概型中，可以讲解摸球问题、生日巧合及配对问题、确诊率及血清化验问题等，这样既活跃了课堂氛围，又培养了学生爱思考的习惯。必须提及的是案例教学法”，它是概率统计课程融入数学建模思想的有效而常用的教学方法之一。在教学中可以直接给出案例，然后从求解具体问题中找出相应的理论和方法。此方法缩短了数学理论与实际应用的距离，不仅可以提高学生学习的积极性，同时也使学生明白概率统计是建立在现实生活基础上的一门课程。比如在随机变量的数字特征中，可以给出报童的收益问题”案例；在参数估计中，可以给出湖中鱼的数量估计”案例；在大数定律和中心极限定理中，可以给出保险公司的收益问题”案例；等等。由于受到课时限制，可能不能充分有效地对案例进行完整讲解，通常将案例分析法”和现代教育技术法”相结合进行教学，利用多媒体教学手段可以将案例中出现的大量统计计算均由统计软件（如spss，sas，r等）来实现。这样既易于被学生接受，也有助于学生掌握统计方法和实际操作能力。
三、发挥课后作业作为课堂教学的补充与延伸作用
作为数学课程，课后作业是十分重要的组成部分，是进一步理解、消化和巩固课堂教学内容的重要环节。
1.课后试验。在概率统计这门课程中有很多随机试验，并且很多统计规律也都是在随机试验中获得的。比如通过投掷均匀的硬币和均匀的六面体骰子，可以很好地理解频率与概率之间的关系；双色球的有（无）放回抽样，有助于理解随机事件的相互独立性；统计某书上的错别字，并判断是否服从泊松分布等。通过让学生们亲自做实验，不仅使他们能够探索随机现象的统计规律性，还能帮助他们更深刻的理解、巩固和深化理论。
2.课后作业。除常规概率统计练习题目外，可以增加一些有趣的、与日常生活中密切相关的概率统计题目。比如在给出了摸规则和中奖规则后，解决下面三个问题：（1）中奖概率与摸的次序有关系吗？（2）假设发行了100万张，中一、二等奖的概率是多少？（3）若你打算摸，在什么条件下中奖概率会大一些？
3.课外实践。针对概率统计实用性强的特点，有目的地组织学生参加社会实践活动，深入实际，调查研究，收集数学建模的素材。只有将某种思想方法应用到实践中去，实际解决几个问题，才能达到理解、深化、巩固和提高的效果。教师可以从现实中寻找素材，选择具有丰富现实背景的学习材料，可以让学生自由组队，深入实际，运用统计方法调查、观察和收集一些数据，在教师指导下运用所学知识和计算机技术，分析解决一些实际问题，写出书面报告。比如利用闲暇时间观察校门口某路公交车各时段乘车人数，根据观察数据，为该线路设计一个便于操作的公交车调度方案：包括发车时刻表；共需多少辆车；以怎样的程度能够照顾乘客和公交公司双方的利益。
四、改变传统单一的考核方式