【关键词】几何解题分类讨论一题多解
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）31-0137-02
初中数学的教学目的是为了使学生获得数学基本知识，获得正确的运算能力，一定的逻辑思维能力和空间想象能力，最终分析解决实际问题，数学几何教学中，教师要教会学生学会分析几何题目，必须注重思想方法的渗透，逻辑推理能力的提高，多方位思维的发散，逆向思维的训练，从而提高学生的几何解题能力。下面我将结合自身在初中平面几何的课堂教学经验，谈几点粗浅的想法。
一、渗透数形结合、分类讨论等思想方法，提高解题效率。
数形结合的思想，就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来考察的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题思路，降低解题难度。如平面直角坐标系的教学，将平面中的点与一对有序数对一一对应；又如圆锥曲线的学习中，研究曲线的方程和曲线的性质，前者是形到数的转化，后者是数到形的转化，通过分析方程的结构特征，得出图形的性质，如范围、对称性、单调性、离心率、特征点、对称性等等，应用不等式的知识和实数平方根的概念，可以明确曲线的范围，应用函数的奇偶性可以明确曲线的对称性。应用曲线方程解决最值问题等等；再如已知ABC的边AB=6，求顶点C的运动轨迹，如果直接由AC+BC=10，利用两点公式来算，运算量大，如果先通过判断这是一个椭圆，再利用椭圆几何量的关系来求方程就很简便。
分类讨论经常应用在几何解题过程中。例如，已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和5cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长。腰上的中线分成的三角形，9cm和5cm的数据都有可能是包含底边的三角形的周长，因此这是从三角形的周长进行分类讨论。已知：在ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE平分∠BAC，求AE的长。这题便要从三角形的形状分类讨论，类似的几何题型还有很多。
二、培养规范的几何逻辑语言，逐步形成严谨的推理习惯，促进几何推理能力的提升。
几何图形的学习，一般是按照“实物和模型几何图形文字表示符号表示”的程序进行教学，其中，图形是从实物和模型进行抽象后的产物，也是形象、直观的语言；文字语言是对图形的描述；符号语言则是对文字语言的简化。因此，教师在讲授几何图形中，应尽可能使内容直观化，形象化，如学习全等三角形时，可以课前剪好两个全等三角形，课上展示旋转、平移、翻折的过程，再把动态的演示转化成静态的文字表示和符号表示，在巩固练习时，通过学生讲解、纠错、小组合作分析等模式，进一步规范并强化学生的解题步骤，促进几何推理能力的提升。
三、鼓励一题多解，设置变式题，发展学生逆向思维能力。
如图，点D，E在ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE.
这道几何证明题的第一种解法：因为已知的是两个等腰三角形，可以应用等边对等角，再用AAS或者ASA证明ABE≌ACD，证出BE=CD，再减相同的量DE，最后得证。第二种解法：可以运用外角的性质，再用AAS或ASA或SAS，证得ABD≌ACE，直接应用全等三角形的性质证出结论。第三种解法：运用邻补角的性质，再用ASA证明。方法多种，对应的知识点也多样，通过一题多解，让学生发散思维的同时，学会从不同角度思考问题。
加强逆向思维能力是提高几何解题能力的重要方面，逆向思维是一种从问题的相反方向进行思维，反转思维，另辟蹊径的思维方法，教师应多通过变式题，训练学生逆向思维，使学生在遇到难题时，通过分析因与果，条件与问题之间的联系，摆脱“山重水复疑无路”的窘境，到达“柳暗花明又一村”之佳境。
四、自主归纳，适当标注，发挥联想，建立联系。
关键词:统计学;理论与实践;项目组
1研究背景
统计学是应用数学的一个分支,随着计算机技术的发展、海量数据的容易获取,统计学被广泛应用在各门学科之上,从物理学到社会科学再到人文科学,甚至被用到工商业及政府的情报决策等方面.因此,国内大学的众多专业都开设有统计学这一基础课程.统计学课程要求大学生从基本的统计学原理出发,结合各自的学科特点,使用各种统计学方法分析各自专业领域的案例和数据,解决各专业的数据统计问题.从本人的教学实践经验来看,由于统计学涉及到一些高等代数和微积分等数学知识,其原理较为枯燥难学,特别是关于概率及抽样分布的知识,比较抽象,需要大学生们具备较高的形象思维能力,这对于文科大学生来说难度较大.另外,统计学中试验设计的数据要么过于宏观,要么与本专业的联系不大,使得大学生们对相关统计技术的掌握印象不深,这些都在一定程度上影响了大学生学习统计学的热情以及学习效果.因此,为了使枯燥的统计学课变得生动有趣以及能用相关技术解决实际问题,本研究提出使用统计学课程的理论知识,结合大学生的专业或研究兴趣,对大学生进行项目分组,指导大学生们进行实际研究,达到统计学理论与实践合、课程必需与专业方向相结合的目的.
2文献回顾
在如何使枯燥的统计学变得生动有趣起来这一课题的研究上,学者们纷纷从各自的角度出发,提出了一些建议.有的学者建议在统计学课堂上提供案例教学法,由教师选取一些经济生活中的实际问题案例提供给大学生,让大学生使用统计学知识去思考和解决(刘海燕、龚玉荣,2003;赵彤,2008;汤静等,2008).这些研究从教师的角度去拓宽实际数据来源,代替原有教材中过于宏观的数据或与学生专业不大相关的案例.有的教师建议对大学生采取真实情景的任务驱动法去发现问题、解决问题和完成任务(吴宁,2007;马铁成,2015).这部分研究强调从学生的角度去采掘数据,从而调动大学生的学习热情.上述已有文献对于如何上好统计学这门课进行了有益的探讨,也得出了颇具意义的研究结论.但是上述研究要么只强调从教师的角度去选择数据,要么只强调从学生的角度出发去发掘数据,两者都具有一定的不足之处.前者要求统计学教师不仅具有坚实的统计学知识,而且具有丰富的来自各专业的知识背景(统计学往往是几个专业在一起上的大课),这样才能选取到适合所有专业学生的数据;后者会因千人千面、数据来源复杂、专业类型众多等问题使得教师在实践阶段指导起来力不从心.因此,在前人研究的基础上,本研究提出:在讲授统计学理论知识的基础上,结合大学生的专业或研究旨趣,让他们自主选取数据,然后将其分成不同的项目小组进行综合指导,这样,既避免了统计学理论学习的枯燥,又避免了上述研究的不足,从而使学生达到更好地理解统计学原理、学以致用的目的.
3具体课程设计
根据上文提到的研究思路逻辑,本研究具体的课程教学设计如下:第一阶段:统计学理论知识学习.这一阶段主要包括统计学绪论、统计调查步骤、统计学概率基础、统计数据的描述、参数估计和假设检验部分,目的是让大学生了解统计学的基本知识、如何进行统计调查、如何呈现统计结果等.这一阶段将占课程总课时的一半左右.与此同时,根据大学生的具体专业情况或研究旨趣帮助其确立研究题目和研究内容等、督促大学生收集相关数据以备后面的阶段使用.在这一阶段,考虑到统计学一般是大课,同时往往几个专业的学生一起上,并且有的专业人数较多,故采用按照研究内容或研究旨趣进行项目分组的方法,将所有大学生分配到不同的项目小组.另外,为了保证项目的顺利实施以及充分体验调查研究的各个环节,每个项目组的人数参照5－10个进行分配.第二阶段:分析实践数据阶段.在这个阶段,在讲授方差分析、相关与回归分析知识的基础上,结合各种具体的分析技术,采用广泛使用且免费的stata统计软件,让大学生动手实际操作第一阶段收集到的数据.具体的做法是在要求大学生学会图表的制作、三大类统计方法的操作基础上,结合各个项目的研究目的分析数据,得到相应的统计结果,并学会对数据的不同处理、图表的制作及美化、对分析结果进行统计意义及现实意义的解释等,最终撰写调查报告,完成统计调查的所有步骤.这一阶段也将占总课程总课时的一半左右.通过这两个阶段的训练,将有效地将统计学理论与大学生的专业或研究旨趣实践结合起来,从而达到一举两得的目的:大学生们既完成了统计学课程的学习,也学会了如何使用统计学工具解决本专业的问题或者自己感兴趣的问题.
4结论
统计学的本质是一种挖掘数据的工具.如何掌握好这一工具、在各自的专业方向或者个人感兴趣的项目上游刃有余地加以运用,是各位教师绞尽脑汁想要达到的目的.本研究通过将统计学理论知识和大学生的专业特点及他们的研究旨趣联系起来,突破了课堂与实验室的局限,将统计学的教学范围涵盖到课堂以外,将使枯燥的统计学课程变得生动有趣,提高大学生的学习热情,从而对统计学知识掌握的更牢、更扎实.与此同时,通过按照项目组进行的这种教学方式,不仅增强了大学生运用统计学知识解决实际问题的能力,而且也为其日后组建项目团队、进行相关科学研究打下了良好的基础.最后,诚如每项研究都有优缺点一样,本研究也可能存在如下不足:例如划分了项目组以后,是否能在有限的时间内收集到满足研究目的的数据,如何安排和协调项目组组员之间的任务分工等问题,这些将在今后的教学实践中加以不断的完善.但不管如何,本研究旨在探讨如何将统计学的理论与大学生的实践联系起来、促进统计学教学模式和手段的更新,希望能起到一个抛砖引玉的作用.
作者:李春华吴望春单位:广西民族大学商学院
参考文献:
[1]刘海燕、龚玉荣．对应用统计学课程教学的几点看法[J]．统计教育,2003,(1):32G33．
[2]马铁成．探究式教学法在统计学原理课程中的应用[J]．教书育人:高教论坛,2015,(7):108G109．
[3]汤静,苏小东,丁威,案例教学法在统计学课程中应用的探讨[J]．统计与咨询,2008,(04):54G55．
关键词：初中数学；提高素养；几何素养
中图分类号：G633.63文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）07-0130-02
随着教学教育改革的深入，加强素质教育，提高学生素养，越来越得到人们的重视，这也是走进新课程的当务之急。初中数学，特别是初中几何，一直是薄弱环节，因为在初中几何教学中存在着很多困难，包括学生对抽象概念和定理的理解，常常停留在表面；学生害怕几何证明题，对证明无从下手；学生对图形语言与文字语言、符号语言的转换仍不敏感；学生对已有的几何知识联系不起来，导致概念、公式、定理学过就忘；出现这些困难的原因在于几何教学主要不是对数与式进行运算，而是运用几何语言、作图语言、符号语言等进行演绎推理，所以提高几何素养显得更加重要。
通过多年的教学经验，笔者在几何教学的过程中摸索出如下几个方面的训练方法，现总结如下：
一、注重动手能力训练
做几何题的前提是需要对图形、模型、实物进行观察、分析，并在此基础上借助逻辑思维进行严格论证。实物、模型和多媒体教学是在几何教学中常用的方法，而培养学生的动手能力，最简便易行的途径便是教给学生动手自己作图。教师在几何教学中，不仅要向学生做正规的作图操作演示，而且也要对学生进行作图的规范性训练，养成严谨的作图习惯。因为有了准确的图形就能让学生直接观察出正确的结论，走好观察准确这一步，需要有很强的动手能力。例如：连接四边形的四边中点，判断这个四边形是什么四边形。要对这个问题做出正确回答，只要求学生用尺规作图规范化即可通过观察得出答案。但如果在练习的时候学生动手能力差，那么往往容易得出矩形、菱形、正方形等错误的结论。
二、注重语言表达训练
几何是一门逻辑性十分严谨的学科，它的严谨性集中体现在语言表述上。几何语言的表现形式有三种：文字语言、图形语言和符号语言。这三种语言在几何中并存并互相渗透。教学中要对学生加强这三种几何语言的基本功训练，要求每一位学生不仅能熟练地表达使用，而且能根据解题或证题的需要，准确地将其中一种语言“翻译”成其他语言形式，这是学好几何的关键。
例如：试证明两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。在解决这个问题时，教师必须让学生把题目中的文字语言转化为图形语言，再把图形语言转化为符号语言。设三角形ABC中BC为第三边，E为第三边的中点，EA为第三边的中线。第二个三角形为A'B'C'，其中B'C'为第三边，E'为第三边的中点，E'A'为第三边的中线。两个三角形均从第三边的中点沿中线AE（和A'E'）方向延伸，做EF（和E'F'）=AE（和A'E'）。把BF（和B'F'）连接起来。由平行四边形法则知AC=BF（和A'C'=B'F'），所以由三角形三边相等可知三角形ABF和A'B'F'全等，所以角BAF=角B'A'F'。同理可得BAC=B'A'C'。由边角边相等可证得。
三、注重推理能力训练
培养学生的数学推理能力要有机地融合在数学教学的过程中。由一个或几个已知判断推出另一个未知的判断的思维形式叫作推理。能力的发展决不等同于知识技能的获得。在教学中要从以下四点来提高学生的推理能力。（1）练好三项功夫：正确地识图与作图；会使用三种几何语言的互相“翻译”，具有准确熟练地进行口头、书面的语言表达；（2）学好基础知识：基础知识的掌握是学好几何的前提条件，定义、公理、定理、推论是几何推导的理论依据，要深刻理解其含义，彻底弄清其题设和结论，这是学以致用的前提，是解决问题的关键；（3）注重方法训练：几何证明方法一般有分析法和综合法，这两种方法结合起来，称为“逆推顺证”，即用分析法寻找证题思路，用综合法书写证题过程；（4）加强格式书写训练。
例如：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？实际上就是利用两块同样的三角板按照相等的两直角边重合后移动三角板，观察斜边所在直线位置关系。我们在回答“为什么”时可以引入“内错角相等，两直线平行”推理过程，这时，第一步的结论同时就可以是第二步的条件，这是学生不易想到的地方。因此对于课本的习题，要求学生在解答时，尽可能地用证明的书写格式书写解题过程，要从最基础的论证做起，逐步培训学生的有理有据的证明思想，有利于学生的证明能力的培养。
四、注重分析能力
训练面对几何题，教师要善于引导好学生分析已知条件是什么，欲求的解是什么，缺少什么条件，问题解决的方法和策略是什么等。不同的问题，会因为问题的内容和性质不同，出现不同的方法策略，同一个问题，也会因为学生知识背景的不同、智能发展的差异，出现各种不同的解决问题的方法与策略。教师要引导学生对数学问题做好分析，弄清题目的来龙去脉，理清题目中涉及到的数学知识、数学技能和思想方法，久而久之，学生的解题分析能力就能得到提高。例如：“判断连接四边形的四边中点的四边形是什么四边形，并说明理由。”在这个问题的推理时可以引导学生分析已知条件由两个中点可以得到三角形的中位线，而图中没有三角形，然后再引导学生构造三角形，从而引出四边形的对角线这条辅助线去证明结论。这样的训练，既培养了学生的分析能力，也培养了发散性思维。
五、注重变式题型训练
Abstract：Informationtheoryisacourseforstudentsmajoringininformationengineeringandcommunicationsystem.Withtheadventoftheinformationageandthecontinuousimprovementofartificialintelligence，aimingatthemainproblemsintheteachingofinformationtheory，thispaperpresentssomemethodstooptimizetheteachingplanaccordingtothecurrentpopularlearningmethodsofknowledgegraphtheory，andmakestheteachingcontentmoresystematicPerfect，cangreatlyenhancestudentsinterestinlearninginformationtheoryofthiscourse，whileimprovingstudents'self-learningabilityofknowledge，soastoachievethepurposeofteaching.
Keywords：informationtheory；knowledgeGraphtheory；artificialintelligence；teachingplan
1研究的背景和目??
信息论是研究信息传输和信息处理的一般规律的科学。追溯到1948年和1949年，在《贝尔系统技术杂志》（BellSystemTechnicalShannon）上，美国数学家C.E.香农发表了信息论的奠基性论文《通信的数学原理》（AMathematicalTheoryofCommunication），该论文的发表标志着信息论这一新学科的诞生，并于第二年发表了著名的论文《噪声下的通信》（CommunicationinThePresenceofNoise），这两篇论文是信息论科学的奠基性著作，香农在文章中深刻地阐明了关于通信的一系列基本问题。在无失真或允许一定失真（限失真）的条件下，如何实现噪声信道中信息的有效传输，文章中运用数学概率论的知识，对信息这一抽象概念进行了定量度量的定义，并给出了信息熵的定义。信息熵是对随机事件可变性的度量，其公式如下：
[HX=Elog2X=x∈Xpxlog2（1p（x））]
其中X为有限个事件x的集合，X是定义在X上的随机变量。
信息论虽然只有短短的几十年的发展历程，但随着通信科学的不断进步，它对学术界的研究和通信领域的发展产生了重要的影响力。自2010年以来，人工智能得到了快速发展，交叉学科的应用趋势越来越受科研人员的重视，信息论的研究内容也不再局限于通信单个领域，逐渐的拓展到其他科学领域，如语义学、模式识别、神经生理学、遗传学、金融投资学等与信息技术息息相关的方向。在通信系统中，信息以消息的形式传递，经过系统接收处理，掌握信号传递规律和处理规律，进而做出调整，以提高通信的时效性和平稳性，最终达到系统的最优化。
目前，在全国高等院校的信息工程和通信系统等各类专业中，基本上都开设了信息论这一学科。信息论是信息科学的理论基础，是一门新兴的横断学课，其涉及知识点繁多且复杂，作为通信的数学原理，应用到了线性代数、随机过程、概率论与数理统计等中的大量数学知识。由此可见，真正掌握和学好信息论这一课程，对学生的数学基础和思维能力有着更高的要求。
如何能让学生更好地掌握和应用信息论的知识，正确的教学方案是关键。基本理论的学习是基础，实践与应用是对能力进一步的提升。随着信息论对多学科领域和社会经济发展的推动，更应该重视其产生的影响，并更好地加以学习，信息型人才是将来社会发展所不可缺少的。对传统的教学模式进行适当的创新，根据知识图谱理论，建立思维导图，让学生更好地掌握这一门课程，这是本次教学改革研究的重点。
2教学中存在的主要问题
信息论的主要内容是通信的数学定理，广泛应用了理工科学生本科所修读的大部分数学学科的理论，对一些非数学专业的本科学生来说，课程内容涉及未学的数学知识，面对复杂的公式推导证明和抽象的内容概念，这无疑是教学和学习中的难点。在传统的信息论教学中，课程的大部分时间用来进行公式的推导证明及理论的讲解，没有合理的知识拓展分析及相关应用，造成学生最后不能有效的理解和学习。
教学中缺乏对理论知识的实践与应用，不能将信息论与现代信息技术的相关应用很好地结合起来。随着信息技术和互联网的快速发展，对隐马尔可夫模型、信道容量的迭代算法、无失真信源编码、有噪信道编码、限失真信源编码、图像的离散余弦变换等知识点的应用越来越多，而信息论教科书中继续沿用之前的例子，存在不能做到与时俱进，缺乏与现代应用实例的结合，应用与学习者专业相关性不大的问题，从而不能调动学习者的兴趣和学习积极性。
另外，信息论的教学学时在逐渐削减，从而导致教学过程中，只是介绍经典信息论的内容，没有涉及过多的分支。以“教”为中心的教学，缺乏自主创新意识，由于教学内容比较复杂，教学模式不新颖，未能调动学习者进修的能动性，学习者很难产生学习兴趣，对这一课程很好的学习。
3优化教学方案主要内容
在信息论的教学过程中，如何运用知识图谱的理念呢？教学模式的改革应该顺应形势发展的要求，引入知识图谱理论，构建信息知识体系，将信息论知识点与交叉学科信息融合，同时结合当今的技术应用，建立多个完整系统的图谱，更好地去讲解这一学科。
3.1识图谱理论的相关介绍
3.1.1知识图谱的概念及发展
随着大数据时代的到来和人工智能的迅速发展，人们越来越重视对相关知识点的交叉和系统融合，知识图谱成为当前互联网领域一个重要的研究分支。
知识图谱（KnowledgeGraph）于2012年加入Google搜索，其作为一个知识库，使用语义检索功能从多种途径中网罗信息，进而提升搜索的质量。Google网络中的知识图谱，一方面罗列了重要信息的链接路径，另一方面提供了相关信息的结构化属性及关于主题的详细信息。通过构建系统完整的知识图谱，用户将能够使用相关功能提供的信息以快速地解决查询的问题，大大地提升了查询效率，减少查问者对相关问题的不必要搜索。知识图谱的构建主要是为了获得大量可供计算机处理的数据，包括重要知识点的基本内容及其交叉相关的知识。
知识图谱又称为科学知识图谱，是展示知识发展进程与结构联系的一系列各种差异的图像，是一个有序的、完整的思维导图体系。知识图谱是将应用数学、图形学、信息可视化技术、信息科学等课程的理论与方法与计量学引文分析、共现分析、自然语言理解等方法相结合，并利用可视化的图进行直观地展示学科的层次结构、发展过程、发展方向、最新研究成果及整体知识架构，以此实现多课程融合目的的当代搜索方法。
3.1.2如何构建知识图谱
知识图谱的构建过程就是从各种结构化、半结构化或非结构化数据中，采用自然语言理解等相应技术抽取实体，实体属性及实体之间的联系，将各实体之间的属性有规律地连接起来，组成一张图。构建的知识图谱可以体现真实世界的相关信息，显示实体间的相关性及交叉拓展的信息。获取实体信息，需要实现实体识别、消歧（重名，别名）、实体关系挖掘等，以构建完善的知识图谱。
从图1可以看出，知识图谱涉及的技术非常多，并且每一项技术都值得去深究。
3.2信息论教学中如何运用知识图谱理念
3.2.1信息论中的教学重点难点及解决办法
在信息论学科的教学中，使用到了大量的数学理论，包含高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计、随机过程以及数值分析等，而数学本身就存在着许多重难点，再加上众多数学知识点的融合，对学生数学基础能力的要求更进一步加大。使用知识图谱教学理念，构建思维导图体系，建立知识点之间的联系，将信息论与数学理论结合，同时与其他的外延学科相结合，实现一个完整的系统学习。例如，在信源熵的数学特征计算中，对连续性和离散性进行结构化分类，一方面要用到高等数学中的积分运算对连续信源的概率密度进行求解，另一方面使用多元函数的条件极值来求离散信源熵的最值问题
通过多知识点实体的连接，构建端到端之间的联系，将抽象的概念和宽泛的理论，转化成相对应的熟悉的各学科知识点，依靠学科间知识点的贯通，在教学中不断引申，学生能够很好地掌握并进行各知识点的自学。例如，在对哈夫曼编码的学习中，以哈夫曼编码为实体中心，拓展与其相关的交叉学科分支，建立图谱体系。很多专业课程都涉及了对哈夫曼编码的应用，包括在数据结构课程中，如何从算法的角度解决二叉树的生成和遍历的最优化问题；在多媒体技术课程中，如何处理对图像、声音、视频等数字信息的压缩和加解密问题；在计算机体系结构科目中，如何处理计算机指令操作码的优化问题等。
将应用工程实例及实践加入知识图谱之中，强调对知识本质的理解与应用拓展，突出核心内容，加强应用型引申，结合当今信息产业发展现状，引出并讲解相应的应用，以增强学生的学习兴趣。例如将无失真信源编码应用到计算机文件的压缩中，面对庞大的数据存储问题，应用信息论相关压缩算法，当今已经达到的压缩技术能在保证文件不失真的情况下，存储量只占原来的三分之一；将有噪信道编码应用到模拟话路中，使调制解调器的数据传输速率提高到尽可能接近理论极限的水平；将限失真信源编码应用到语音信号的压缩，使编码速率可以远远低于奈奎斯特采样定律和量化噪声理论中的编码速率。
建立信息论教学知识图谱，划分侧重点，构建重要实体之间的框架，减少对次重要和不重要知识点的讲解时间，及对其中知识点进行压缩。例如教学的侧重点应当顺应形势发展的要求，当前的信息处理和编码技术已普遍?底只?，在讲习内容安排方面，应恰当删减连续信源理论、连续信道容量等相关内容，对离散信号知识点的讲解应该比连续性信号更加详细，同时要减少对相关公式的推导与证明过程，侧重离散概念，带动连续信号的分析，建立起二者的系统概念图，建立对比与应用分析。
3.2.2教学方案的改革
信息学科是一个新型的学科，而且是一个逐渐发展和深入的科目。构建合理的课程体系，在课程章节讲解上有条理地分配相应的时间，考虑到学习者自我学习和思考的能力所在，合理的分配课后作业和思考题，以提高学生自我学习能力。鼓励学习者将书本知识转化为解决工程问题的方法，并将实践所获得的知识与经验，有效运用于理解书本知识，鼓励学生提出假设与否定。
在备课过程中，从教学资源数据库及网络中，获取大量课程相关的授课素材，将信息论中的定理证明和推导过程，结合其所包含的物理含义及应用能力反复强调出来。在授课时，对本课程与其他专业相关联的内容，进行总结归纳和拓展，建立课程之间的交叉联系，将不同科目的相关理论综合起来，联系实际应用，多举实例展现，以提升学习者的学习兴趣。
在教学过程中，注意适时提出一些问题，指引学习者更深入和更全面的理解。增加师生互动，转变师生角色，让基础扎实并对信息论知识点熟练的学生，站在老师的位置，给其他同学进行讲解，老师做出总结拓展并纠正错误。鼓励学生进行小组讨论，课堂上进行小组间的自我学习，搭建知识图谱，从而增强课堂的活跃性，激发学生的学习兴趣，加深对信息论课程的理解。
关键词:数学史;教育价值;教育功能;数学教学
在新一轮中学数学课程改革中,数学史首先被看作理解数学的一种途径,要通过数学史的学习使学生体会数学对人类文明发展的作用,提高学生的学习兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用,对于引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,对于激发学生学习数学的兴趣,培养探索精神,对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值,都有重要意义。高师院校是培养中学优秀教师的摇篮,在高师院校的数学教学中更应该注重将传统的课程内容与数学史有机地结合起来,用历史上出现过的原始数学问题来引入教学的课题,并且运用古人的朴素想法来解决一些相对简单的问题,从而揭示了抽象的数学概念与方法所包含的丰富内涵。
一、数学史教学的教育功能
(一)学习数学史可以帮助学生认识数学、形成正确的数学观
学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科,学习数学就要使学生“初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明发展的作用”,而现阶段大学本科学生对数学的看法还大都停留在感性的层面上─枯燥、难学。数学的本质特征是什么?当今数学究竟发展到了哪个阶段?在科学中的地位如何?与其他学科有什么联系?这些问题大都不被学生全面了解,而从数学史中可以找到这些问题的答案。
日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出,人类历史上有四个数学高峰:第一个是古希腊的演绎数学时期,它代表了作为科学形态的数学的诞生,是人类“理性思维”的第一个重大胜利;第二个是牛顿―莱布尼兹的微积分时期,它为了满足工业革命的需要而产生,在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功;第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期;第四个是以计算机技术为标志的新数学时期,我们现在就处在这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可度量,17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论,它同前三个高峰有着惊人的密切联系,这种联系绝不是偶然,它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生可以从这种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密,不允许有任何杂乱,不允许有任何含糊,这时候学生就很容易认识到数学的三大基本特征─抽象性、严谨性和广泛应用性了。
同时,介绍必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景产生更加深入的理解,认识到数学绝不是孤立的,它与其他很多学科都关系密切,甚至是很多学科的基础和生长点,对人类文明的发展起着巨大的作用。从数学史上看,数学和天文学一直都关系密切,海王星的发现过程就是一个很好的例子;它与物理学也密不可分,牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期,数学(不仅仅是自然科学)逐步进入社会科学领域,发挥着意想不到的作用,可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持,数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于高师院校的本科生来说是很有必要,也是必不可少的。
(二)学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式
现行的数学专业课教材一般都是经过反复推敲的,语言十分精练简洁。为了保持知识的系统性,把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排,缺乏自然的思维方式,对数学知识的内涵,以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识,但很容易使学生产生数学知识就是先有定义,接着总结出性质、定理,然后用来解决问题的错误观点。所以,在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾:一方面,教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识,将知识系统化;另一方面,系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善,一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。
数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史,让学生在学习系统的数学知识的同时,对数学知识的产生过程,有一个比较清晰的认识,从而培养学生正确的数学思维方式。这样的例子很多,比如说微积分的产生:传统的欧式几何的演绎体系是产生不了微积分的,它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法”、“求抛物线弓形面积”等思想的启发下为了满足第一次工业革命的需要创造得到的,产生的初期对“无穷小”的定义比较含糊,也不像我们现在看到的这样严密,在数学家们的不断补充、完善下,经过几十年才逐步成熟起来的。
数学史的学习可以引导学生形成一种探索与研究的习惯,去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中,真正创造了些什么,哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步。对这种创造过程的了解,可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程,有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识,了解数学知识的现实来源和应用,而不是单纯地接受教师传授的知识,从而可以在这种不断学习,不断探索,不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。
(三)学习数学史为德育教育提供了舞台
德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了,数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能,我们从以下几个方面来探讨一下。首先,学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。现行的数学教材讲的大都是外国的数学成就,对我国在数学史上的贡献提得很少,其实中国数学有着光辉的传统,有刘徽、祖冲之、祖、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家,有中国剩余定理、祖公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就,对其中很多问题的研究也比国外早很多年。然而,现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上,从明代以后中国数学逐渐落后于西方,20世纪初,中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。在新时代的要求下,除了增强学生的民族自豪感之外,还应该培养学生的“国际意识”,让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长,说人之短”上,在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高,我们要尊重外国的数学成就,虚心的学习,“洋为中用”。
其次,学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的,无理数的发现,非欧几何的创立,微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威,或是坚持不懈、努力追求,很多人甚至付出毕生的精力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中,为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明,晚年视力极差最终双目失明,但他仍以坚强的毅力继续研究,他的论文多而且长,以致在他去世之后的10年内,他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说,介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事,对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。
最后,学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的,无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质,数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理(勾股定理)是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理,有着极为广泛的应用。两千多年来,它激起了无数人对数学的兴趣,意大利著名画家达•芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。1940年,美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明,充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力,早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究,近代以来人们又惊讶地发现,它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时,在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时,可以形成对数学良好的情感体验,数学素养和审美素质也得到了提高,这是德育教育一个新的突破口。
二、把数学史看作理解数学的一种途径
(一)了解数学理论发展的历史背景,加深理解数学理论、公式、定理和数学思维
一般说来,历史不仅可以给出一种确定的数学知识,还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解,可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程,而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝,同时也相对地失去了生气与天然性、已经被标本化了的数学。从这个意义上说,历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛,而不是单纯地传授知识。它既可以激发学生对数学的兴趣,培养他们的探索精神,而历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。
写在书本上的数学公式、定理、理论都是前人苦心钻研经过无数次的探索、挫折和失败才形成的,是在当时社会生产、人们的哲学思想、数学家的独创精神联系在一起的活生生的数学。但是,我们从书本的条文上,已看不到数学成长、发展的生动的一面,而只看到数学的浓缩的形式,这就妨碍我们对这些数学理论的深刻理解。
(二)数学史与师范院校本科数学教育的内容的整合
数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神等。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观。为此,数学专业课程提倡体现数学的文化价值,并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求,同时设立“数学史选讲”等专题,让数学史与师范院校的数学专业课程教育有机整合。下面结合本人在师范院校几何专业课程的教学经历,浅谈一下数学史的内容如何融入到实践教学中去。
1.欧氏几何:欧氏几何在全部几何学中占有最基础的地位。如果不对欧氏几何有一个整体的理解,则不仅不可能理解后来的各种几何学的由来与发展,而且也难以从根本上把握中学几何教学中的基本问题。许多在传统“高等几何”课中所讲的内容其实都可以先在欧式平面上讨论,使学生有一个印象,在此基础上再进行逐步抽象与推广。这样做比较符合历史发展的顺序和学生学习新知识的规律。先详细地介绍欧几里得《几何原本》第一卷中的所有命题,这是学习和理解公里体系的最好材料,从中可以知道什么是不定义术语、定义、公理、定理以及证明所需要的论据。这样学生对中学教材就有了更深层的了解。另外,通过仔细讲解第一卷,还为后面讲第五公设的试证做好了准备。接下来让学生熟悉有关圆、相似三角形以及能够反映欧氏几何本身进一步发展的定理和它们的证明。由此引出一系列结论,如巴普斯定理和关于圆内接六边形的帕斯卡定理、共线四点的交比、调和点列与调和线束及其对圆的应用、圆的极点与极线、圆的外切六边形的布里安桑定理等。
2.平面射影几何:历史上,射影几何的深刻思想曾经极大地拓展了人们的视野。如同在代数中引入至关重要的“i”一样,数学家们通过引入虚无缥缈的无穷远点,把古典的欧氏几何发展成了一个十分完美而且比较抽象的几何理论。初步学习这个理论,有助于使学生在一个新的高度上重新认识欧氏几何。
从文艺复兴时期的画家们得到的绘画透视几何原理引出中心投影及其不变性质和不变量的概念(例如交比在中心投影下不变)。然后介绍笛沙格和帕斯卡等人用中心投影的方法从圆的性质推出许多关于圆锥曲线的性质(例如关于切线的许多定理和帕斯卡定理等),这实际上是通过中心投影这样一个简单的概念将圆与圆锥曲线统一起来了。
更为惊人的想法是无穷远点概念的引入。笛沙格用这个想法统一了圆锥曲线的直径和极线这两个在希腊人看来是截然不同的概念。开普勒将抛物线看成是一个焦点是无穷远点的椭圆。通过引进无穷远点,就得到与欧式平面完全不同的射影平面。近代的几何学家还系统地发展了“将给定直线投影到无穷远”的几何证明方法,用这种独特的方法可以很容易地证明关于圆锥曲线的笛沙格定理、帕斯卡定理和布里安桑定理等几何命题。
3.球面几何:弯曲空间是现代科学中的一个基本的几何概念。传授这方面知识的最好途径是利用球面这样一个简单的曲面。生活在地球上的人类很早就开始了对于球面的研究。除了它的实用价值,球面几何对于产生非欧几何的想法也有明显的启发作用:它使学生首先认识到直线可以弯曲,三角形的内角和并不总是等于180度等。
4.双曲非欧几何:这部分将沿着历史发展的顺序,从古老而不朽的《几何原本》第一卷出发,像历史上的许多数学家一样试证著名的第五公设,逐步进入双曲非欧几何这样一个完全是由人们想象出来的几何新天地,使学生透彻地理解几何学的本质和数学中的公理化方法。
参考文献:
[1]张奠宙,李士,李俊.数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003.