今天,我说课的内容是北师大版七年级上册第三章第六节第一课时《探索规律》。首先谈谈我的设计理念:
1.数学学习内容是现实的、有意义的,是“身边的数学”。
2.课堂是学生的,学生是学习的主人。
3.数学学习的过程是形成思想和方法的过程。
接下来我将从以下几个方面阐述对本节课的认识和设计思路。
一、教材分析
《探索规律》作为本章最后一节,是对前面所学知识的综合应用,也是对这些知识的拓展与延伸。本节主要通过对学生非常熟悉的日历中的规律的探索,使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型,对建立初步的符号感,帮助学生树立数学建模的思想具有重要的作用,同时也为学习后续知识,如方程、函数等内容做了重要的铺垫,是中考重点考查的一个知识点。
二、教学目标
根据新课标的要求及七年级学生的认知水平,我制定本节课的教学目标如下:
1.经历探索数量关系,会用代数式表示简单的问题中的规律,并验证规律。
2.亲历探索规律的过程,了解问题解决的意义、思想和方法,培养抽象思维能力,有条理的表达能力和与人交流的能力。
3.体验数学与生活之密不可分,规律之美,勇于探索的意志品质。
三、教学重难点
使学生经历探索规律、验证规律过程,逐步学会用代数式表示规律。训练学生用抽象的符号来表示规律,难点是体会数学模型思想。
四、教法
根据新课标和教材说明的要求,在教学中我将分别采用:①情景教学法;②小组合作法;③活动探究法;④模型演示法等。
五、本课运用教具
日历,自制课件,折纸,棱柱模型,三角板。
六、教学过程
为了突出学生的主体地位,我设计了六个教学环节:温故知新;合作探究;解释应用;拓展延伸;回顾反思;布置作业。具体如下:
1.巧设情境,激发兴趣。
举班齐唱“1只青蛙,1张嘴……”的儿歌。学生发现这是一首永远也唱不完的儿歌,我顺势提问:大家能用一句话概括这首儿歌的内容吗?学生大声回答:“n只青蛙,n张嘴,2n只眼睛,4n条腿,n声扑嗵跳下水……”原来,用一个含有字母的代数式就可以使得问题变得简洁而明确。这就是规律给我们带来的好处。那么,你们能想起来哪些我们曾经学过的有规律的数学结论吗?
在学生联想、回忆、踊跃回答之后,我通过屏幕展示我们曾经探索过的一些的数学规律,使学生感受规律的简约之美,同时感受数学的严谨性。
2.小组合作,探索规律。
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,向学生提供充分从事数学活动的机会。本节课我借助学生熟知的日历来引导探究,非常贴近学生的生活实际,使学生明白了数学来源于生活,又应用于生活。
在2分钟的熟悉课本内容后,学生开始分组探究日历中的规律。
探究内容一:日历中同一行、列及对角线上的数字规律。将全班同学分成8组,分组解决不同的问题,让每个学生在小组中交流自己发现的规律,用字母表示这些规律,并要求组内其他组员验证规律。然后各组汇报交流结果。
探究内容二:日历中同一行、列及对角线上数字之和的规律。数学,是思维的体操,是开启学生智慧之门的钥匙。本节课一个突出的特点,就是利用有限的资源,引导学生展开多方位的探索,将问题分析透彻。在此过程中,我只根据实际情况作适当点拨,鼓励学生用自己的语言有条理地、清晰地阐述自己的观点。
探究内容三:日历殊形状如十字型、H型、W型中数字之和的规律,这一活动侧重于对学生发散性思维的培养。经历了一番观察、分析、猜想、验证的探究活动之后,学生会主动提出设问,并利用手中各自不同的日历进行探索、交流,感受数学活动的创造性,以及数学思想方法的重要性。
3.应用解释,体验成功。
新课标指出,数学教学活动应该是一个经历将具体问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。为此我设计了第三个计算工地钢管数量的问题。新颖的问题总是能立刻吸引学生的注意力,易于活跃学生的思维,又培养学生的数感,让他们体验生活与数字、图形,密不可分,从而树立应用数学的意识。我们需要的是等待学生讨论后的完美答案。
4.延伸拓展,举一反三。
新课程倡导学生多动手,动脑。这一环节中,我设计三个问题,由师生互动完成,使学生在获得数学理解的同时,培养他们的动手操作能力。
第一个问题由教师演示各种棱柱模型,鼓励学生自己观察,得出结论,并清晰地表达发现的规律。
第二个问题是老师、学生共同在折纸游戏中探究完成。我设计了三组问题,这三组题目,由浅入深,逐层推进,对培养学生的类比思想很有好处。同时本题的背景又赋予数列以实际意义,可以加深学生的印象和理解,也是帮助学生建立函数思想的一个很好的问题。
第三个问题要求学生从答案中再发现规律,生成新的结论,是一个相当不错的拓展延伸,以此来鼓励学生挑战自我,体验成功。
一纸道具,使每位学生都活跃起来,他们边折,边想,边讨论,充分享受着思维带来的快乐的不觉中,获得了知识与方法的内化。在民主交流、和谐轻松的气氛中,顺利完成教学目标,并突破本节课的重、难点。
5.回顾反思。
学生通过探索的过程,获得了新知识、新经验,无论是认知,还是情感,都全方位地得到发展,再通过交流评价,形成反馈机制,既利于他人的进步,又有助于自己的成长。如教学最后,我设计了这样一个问题:通过本节课的学习,各小组交流一下你有什么收获、感想,你的表现如何,今后要怎么做等。
6.布置作业。
一、课堂教学与评价的联姻
《义务教育数学课程标准》（2011版）在评价建议中指出：评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。良好的学业评价不仅能准确地反映学习者的学习结果，还要反映学习者在学习过程中的问题，以便让学生通过反思自己的学习过程来调整学习行为、情感和策略的参与水平，从而帮助学生改善自己的学习。良好的学业评价反馈给教师的不仅是每一个学习者的学习结果状况，还包含过程状况，可以帮助教师进一步了解学生对数学的态度和情感，了解学习方式的多样性和差异性，了解学习的水平和形成数学自信心的过程，从而促进教师反思自己的教学，让教学趋于完善。科学有效的评价应当成为教师手握的又一把利剑。
我们大胆提出：在教学实践中，只有让“课堂教学”与“有效评价”双剑合璧，才能舞出别样的精彩。
2010年我校在确定省厅重点课题时把教学评价当做研究的一个重点内容，在确定“自主探索”研究课题的同时也确定了“评价推进”研究小组。在一年多的实验中，“评价推进组”和“自主探索”课题组相互配合，“自主探索”课题组在台前展示体现数学思想方法在课堂中渗透的课程新理念的有效教学，评价推进组在幕后支持。评价推进组主要通过设计一些创新试题，分别组织普通班和实验班的学生进行测试，并对学生的测试结果进行分析，反馈给“自主探索”研究小组，“自主探索”小组根据测试所反馈的信息对他们的课堂教学进行反思和研究，开展一课多轮和同课异构的研究活动，针对测试中所反映出来的问题改善教学方式，课后组织学生进行后测，检验教学效果，同时也检验试题的可行性和科学性。
二、双剑合璧的田野实践历程
双剑合璧不是停留在理念上，而是落实在实践上，体现为案例研究中通过评价对教学质量的改良与完善上。从“双基”到“四基”，从关注结果到既关注过程又关注结果，是《义务教育课程标准》的核心理念，数学教育的核心是培养公民的数学素养，数学思想方法的渗透、活动经验的积累，是提高学生素养的有效途径，因此数学“自主探索”研究小组，关注结合数学的课堂教学渗透数学的思想，积累数学活动经验。我们在低、中、高三个年级中都尝试开展“渗透数学思想方法、积累数学活动经验”的案例研究，同时用评价进行反思，督促，改进。陈凯平老师执教的《简单的搭配组合》、朱顺进老师执教《植树问题》、林碧珍老师执教《解决问题》等研究课例，都充分体现数学思想在课堂中的渗透，而这些课例之后，无一例外的是评价组的研讨介入。模型思想的建立是《义务教育课程标准》新增的核心概念之一，数学模型能力的强弱直接影响着学生解决问题的能力，因此我们的研究从培养学生建模能力入手。
下面就以朱顺进老师执教的四年级下册《植树问题》为例向大家展示我们在研究过程中如何以评价推进数学课堂教学，提高课堂教学有效性的具体做法。
（一）第一轮案例研讨
1.片段描述
①问题情境，引发思考
师出示例题：现在准备在一条全长240米的小路一边植树，每隔4米栽一棵，可以怎么种？先引导学生得出：三种不同的植树方法。接着让学生猜一猜：需要准备几棵树？
②探究规律，验证猜想
师引导学生思考可以怎样验证？并通过讨论得出可以先举些简单的例子来验证的方法。
③填表找规律
师：老师这里有一张表格，请你们画一画、填一填，看看能不能通过简单的例子找到棵树和段数之间的规律，来解决240米能种树多少棵的问题。
生：举简单的数据画图、填表、汇报规律
师引导总结：两端都栽时，比较段数与棵数，你得出什么规律？
师引导学生用一个式子表示段数与棵数之间的关系。
④尝试应用
师：现在你们能解决240米长的路上的植树问题了吗？
学生列式。
⑤课堂总结、渗透思想
师引导学生回顾刚才解决问题的过程，从而渗透（从简单的例子入手，通过画图、找到规律，再用规律来解决复杂的问题）建模思想。
⑤拓展提高
……
2.评价跟进
第一轮的案例研究课得到大部分听课教师的好评，他们认为朱顺进老师在设计中巧妙地渗透了数形结合、化繁为简的思想帮助学生建立数学模型，这样的课堂对于培养学生的建模能力是很有帮助的。但课题研究组的几个教师，在观课后，总有一种意犹未尽的感觉，总觉得课堂中似乎少了些什么？到底我们在课堂中渗透的思想方法能否深入学生的内心，我们的教学对于学生解决问题能力的提高有多大的作用呢？为此评价推进小组设计了一些能体现学生运用模型思想解决问题能力的创新试题对学生进行了测试。
（1）测试的问题
①观察下列算式，想一想有什么规律，横线上应该填什么？
1+2+1=（1+1）+2=____________
1+2+3+2+1=（1+2）+（2+1）+3=____________
1+2+3+4+3+2+1=（1+3）+（2+2）+（3+1）+4=____________
1+2+3+4+5+4+3+2+1=__________________________=____________
②利用上面的规律，请你写出下面各题的得数：
1+2+3+……+9+10+9……+3+2+1=____________
1+2+3+……+19+20+19……+3+2+1=____________
1+2+3+……+29+30+29……+3+2+1=____________
③……
A根据上面的圆片层数与总个数之间的关系，填写下表：
B按照这样的规律放圆片，如果摆10层，一共需要（）个圆片；如果用了240个圆片，那就刚好摆了（）层。
（2）测试的对象
测试的对象选择了小学四年级一个班的学生（朱顺进老师同时教两个班，我们任意选择其中一个班，在按照《植树问题》第一轮教学设计实施教学后进行测试，而另外一个班则留在《植树问题》第二轮教学设计实施教学后进行测试）。
（3）测试的过程
2012年5月7日下午，在学生不知情的情况下，由班主任组织进行测试。在测试前，没有给学生任何解题提示，学生均独立解答，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答问题的水平。测试后，对学生的试卷进行批改，并对解题情况进行初步统计和整理。
（4）测试结果分析
①第1题正确率不高，但失分情况却呈现多样化
对学生的试卷进行批改和统计后，我们发现：四年级学生能找到规律，正确解答第1大题只占22%；从解题过程上看，有60%的学生，因为未完全发现数与式中的规律，所以对半题，错半题，其中模仿意味很浓；只有6%的学生，根本不知从何入手，交白卷。从试卷分析中我们看到第一小题学生仅仅靠机械模仿和计算就能完成，因此学生完成情况较好。
②第2题学生没有深入理解每个数字的含义，一味地依葫芦画瓢
第二题中前面有算式样例示范，94%的学生完成第一小题，可是最后两空失分的学生比重高达64%。试卷批改结束后，我们对学生展开了一次“访谈”，意在更深入地了解学生解题时的想法和错误的原因。当问表格中的数据你是根据什么填写时，学生们想法如下：将算式与图形对应观察，他们发现算式的积是圆片的个数，而且算式都是1×2、2×3、3×（）两个连续自然数相乘，而对于表格中的每个数字的含义是什么？他们没想太多。可见，我们的学生探索得到的只是算式表面规律，并不具有从算式中抽取数学模型的想法和能力。
通过测试和研讨我们发现，课堂中虽然我们有意识地在为学生渗透建模的思想，但学生实际的建模能力还是不容乐观，我们在观察中发现学生在数学建模的能力形成上面临两大难关：A.通过观察实际情景，从中发现问题，探索出事物内在规律的能力。B.通过抽象，将生活中的简单现象利用数学符号表达成模型关系式的能力。围绕如何突破这两个难点，如何在教学中渗透数学模型思想，评价组参与讨论，与课题组其他成员商议，开展了第二轮的尝试性探索研究。
3.对第一轮案例的反思
在第一轮教学中，我们设计的意图是希望让学生经历“现实题材——探究规律——建立数学模型——拓展应用”的过程，但回头反思我们的教学，不难看出：我们的“经历”实际只能称为“经过”，化繁为简、数形结合的方法是教师提示的。图表是教师提供的，学生只是在教师的“牵引”下，“伪经过”了一次所谓发现“段数+1=棵数”的过程，在这个过程中学生没有建构、只有机械的模仿。在整个建模过程中学生没有思维的碰撞、没有经验的反思，更谈不上活动经验的积累，这样的“伪探索”学生的建模能力怎么能够得以提高呢？看来测试中所折射出的问题，正是我们课堂教学中所存在的盲区。那么在教学中，如何有效地让学生经历数学建模的过程，真正丰富学生解决问题的经验、提高建模的能力呢？我们进行了第二轮的教学设计和实施。
（二）第二轮案例研究
1.片段描述
①问题情境，引发思考
A.师出示例题：现在准备在一条小路一边植树，每隔4米栽一棵，可以怎么种？
学生生动手利用桌面上的学具进行操作后得出三种植树的方法。
B.师出示例题：现在如果要在全长240米的小路一边植树，每隔4米种一棵树（两端都要种），请学生猜一猜需要准备几棵树？
②探究规律，验证猜想
A.师引导学生思考有什么方法可以验证？
B.师通过在黑板上示范画图让学生感受，如果画出240米种几棵很麻烦，费时间。从而引导学生得出可以举些简单的数据，画图找找规律的解决问题的策略。并引导学生得出可以先思考12米、16米、20米分别可以种多少棵？
C.师引导学生用算式表示出在12米、16米、20米的路上所种的棵数？并引导学生认真观察算式，说说有什么发现？（生：都是把总长除以4再加1。）
D.师引导学生说说12÷4、16÷4、20÷4这些算式求的是什么？并进行小结：大家在求棵数前，都先求了段数。明明题目让我们求棵数，为什么你们都先求段数呢？看来棵树与段数之间是有关系的？那到底它们之间有怎样的关系呢？我们一起来研究。
E.师生共同探讨研究的方法，共同讨论表格中体现的内容。
F.师：出示植树问题（两端都种）规律探究表
③填表找规律
师出示活动要求：讨论、画图、观察、思考、总结规律。
生：列表、画图、找规律，发现棵树比段数多1。
师：为什么棵数会比段数多1了？
根据学生的发言，课件展示数形结合展示一一对应的过程。
……
④反思过程，提炼方法
师：大家能通过自己的努力把一道新的问题解决，那在学习的时候都经历了哪些过程？
小结：当我们遇到一个难题时，可以从简单的例子入手，来发现规律，回头再来解决。我们可以根据已有知识先对问题进行猜想，然后来验证，验证的过程中，可以用到画图列表的方法，这些都是我们学习数学的好方法和好策略。
⑤体会并初步运用思想方法解决问题
师：那大家能用刚才所学的这些方法，来画一画，找一找植树问题其它两种情况种的规律吗？
⑥联系生活，解决问题
师让学生说说生活中存在着的类似植树现象。并选择其中的几组尝试解决问题。
师：这节课你学到了什么？你们是怎样解决植树中的问题的？上了这节课对你今后的学习有什么帮助？
⑦课后延伸，自觉运用思想方法
出示在圆形的溜冰场一周植树的问题，让学生自己运用所学的思想方法解决问题。
2.第二轮教学反思
双剑合璧的“教”“研”一体化的尝试让每一个参与其中的同行都感到受益匪浅。每个人在全过程中担任的角色不同，收获感受也不一样，但从案例中汲取的成长的力量都是一样的。
（1）大胆猜想，促进思考。与第一轮的教学设计相比较，这次设计中最突出的变化是从“牵着走，要我怎么做”变为“自主学，我要这么做”。教师先设置了“在240米的路一边种树（两端都要种），需要几棵树？”这样一个大数据的问题，鼓励学生大胆猜想。猜测易，验证难。画图显然只能限于小数据由于路太长，无法使用。教师把学生逼到矛盾的尖端，在无计可施的情况下自然地引导学生找到解决问题的策略“化繁为简”——“用些简单的数，先画20米或40米试试看。”就在一逼一引的过程中，学生经历并感悟了“化繁为简”的思想方法，为数学建模奠定了基础。
（2）真探究与“伪探究”。“填表找规律”是很多教师在《植树问题》一课中采用的方法，意在让学生通过表格，找寻棵树与段数之间的规律。可表格中要放那些内容？教师定，学生只要照要求做就行，学生心中难免犯嘀咕：为什么要求段数？我要的是棵树呀？教师看似合理的安排，其实给学生的自主探索加上无形的枷锁，探索变成既定计划的走过程，探究变成“伪探究”。这样的探索活动怎么能让学生有所体悟。因此在我们的测试中就反映出学生的简单模仿，缺乏深度的思考与探索。在第二轮的教学中，教师就能大胆放手让学生自己去探索、去感悟、去寻找解决问题的突破口—为什么求棵树必须先看段数，这样的引导给学生自主的空间，为今后学生在解决实际问题时，如何学会思考积累了经验。
（3）“回头看”与“炼真金”。通过探索一种情况下的数量关系和规律，让学生经历探索规律的一般方法：化难为易、数形结合、观察归纳……，接着让学生“回头看”，总结探索的一般方法，看似简单的回头看，实际却是把“经历”提升为“经验”的经典之处，有了“回头看”学生在反思中学会了思考，积累了思维的经验。有了经验之后教师又让学生用所学的方法试着去探索另外两种情况下植树的规律，在应用中提高了建模的能力。从“形”中学习知识，适时适当地逐步归纳上升，在掌握数量关系后，再迁移出“数”后面“型”的模型。“形数型”的教学模式，为学生的数学建模和解决问题能力的提高打下了坚实的基础。
3.对比测试、检验成效
课后我们马上对朱顺进老师所执教的班级实施了测试。以下是两道测试题的两次教学后测试情况对比统计结果。
第1题学生解题情况表
第2题学生解题情况表
三、实验的阶段总结
（一）实验的收获
1、评价为教学指明方向
从测试结果的对比中可以看出，通过第二轮的教学，学生感悟和运用模型思想解决问题的能力有所提高，他们不再是简单的模仿，而是能充分地进行大胆的猜想、小心验证，并通过画图等策略帮助自己发现并总结规律，能真正地建立起数量之间的模型关系，解决问题的能力有了明显的提高。这得益于第一次教学后测试结果为我们教学提供的资源，因为学生的评价结果，我们看到了教学设计的不足，评价的结果为我们的第二轮教学设计指明的方向，我们的课堂因为评价的反馈作用更加充满生机与活力，我们的教学设计也更加合理有效。
2.长期坚持教学与评价结合的探索以促进学生能力的提高
培养学生的模型思想，需要教师在长期的教学中逐步渗透和引导，课堂中要留给学生充分的感悟思想方法、进行数学思考的时间，让学生在充分的数学活动、师生互动交流中积累思维的经验形成正确的数学态度和科学的方法。通过这一轮的研究，我们也看到：以有效的“评价”推进“课堂教学”，双剑合璧，这样的课题研究方式让我们的教学设计和实施情况在评价中及时得到反馈，而我们的评价通过课堂教学的检验，更加全面合理。以评促教、双剑合璧的研究方式充分展示了它的魅力。
台湾著名数学教师林心怡执教的《钉子板上的多边形》一课，简约深刻，自由开放，妙趣横生，以一种新的视角为我们精巧破译了“探索规律”教学的行进“密码”，令人回味无穷。
一、重视过程：让“规律”探索自然行进
“探索规律”的教学，自然是以“规律”探索的过程为基本立足点和出发点。精心设计探索活动，引领学生在具体情境中充分经历规律的探索与发现过程，无疑便成为“探索规律”的关键性一步。
1.整体感知，猜测规律
“规律”的得来，离不开对大量、丰富素材与数据的分析与研究。课始，林老师简要揭示了“周点”“面积”“内点”之后，便以周点为8，面积为4，内点为1的长方形为例，进行了巧妙变化――“如果面积改变，内点、周点的数量会不会改变？”“如果面积变回4，内点、周点会变回来吗？”一边追问，一边结合着钉子板上直观的图形及对应的数据进行对比、观察、分析。这一过程，我认为用意有三：一是让学生整体感知“内点”“周点”和“面积”三个变量之间的紧密关系，为接下来的深入探索提供了思维模型；二是让学生感受到所要研究问题的复杂性，为接下来的分类研究创造机会；三是唤起探究欲望，激发探究兴趣。
2.分步研究，探索规律
面对复杂的问题，既要有整体思想，全面认识，更要有分步研究、层层深入的意识和能力。林老师让学生感受到了问题研究的复杂性之后，便巧妙破解难题，分步推进。“我们先来讨论周点改变，会不会影响面积？”引导学生围绕内点为1，探讨周点和面积之间的关系。此过程，学生四人为一组，每组至少在练习纸上画了三个多边形，并进行了数据记录和分析，各个小组均顺利得到了：S=n÷2。然后，教师进一步提出新的问题：“如果内点为2，它们又会有怎样的关系呢？”学生又以两人为一小组进行了探究。整个探究过程，教师高度放手，从研究素材的生成，到研究数据的观察与分析，再到研究结论的总结与表达，全部由学生来独立完成，科学有序，民主高效。
3.及时对比，总结规律
规律探索，离不开对大量素材和数据的研究与分析。在研究与分析的过程中，有一重要的方法，那便是对比。通过对比，便于寻找异同，发现规律，深刻认识。在林老师的课上，她多次引导学生对数据和得到的结论进行对比分析，不断将规律认识引向深入。特别是每组汇报时，林老师都在黑板上记录下他们总结的关系式，无形间既默默强化了规律，又让学生在对比中感受到了研究者不同、研究素材不同、研究过程和表达方式不同，但却得到了相同的“规律”。在变与不变中感受“规律”的必然性，整理性，体会到了数学研究的无穷魅力。
4.充分验证，强化规律
任何研究结论，都要在充分验证之后才会被进一步认可，特别是运用不完全归纳法得到的“规律”，更需要引导学生充分验证。林老师在放手让学生分别探索了内点为1、内点为2多边形面积与周点的关系之后，引导学生对所得到的结论进行了及时验证。这样一来，既让学生对所发现的“规律”有了进一步的认识与理解，又让学生经历了完整的科学探究之旅，培养了学生科学、严谨的研究态度和研究精神。
二、关注方法：让“规律”探索科学有序
“探索规律”的教学，是以规律探索为素材，引导学生运用科学的方法，经历探索过程，感受探索乐趣，积累探索经验的活动。在这样的过程中，离不开科学、有效的研究方法。研究方法的发现、总结与运用，自然也成为了“探索活动”教学的重任之一。
1.过程中自悟
好多有效的研究方法，都是研究者在研究过程中自然而然发现并总结出来的。学生的探索活动，也必然会生成和积累一些有价值的研究方法，教师在此过程中要充分关注并为其积极创造条件。林老师在课中，多次适时引导学生发现并总结方法。当学生探索完内点为1的多边形周点和面积之间的关系后，林老师及时追问：“大家觉得哪一组的记录比较容易发现规律？”此语，问得妙！一箭双雕！她既是在引发比较，又是在引出一种有效解决问题的策略――列表。这一过程，唤起了学生对研究方法的关注，更在培养学生一种善于观察、勤于反思、重视方法的意识与能力。
2.互助中共悟
真正有意义的合作学习，不应仅仅是学习团队对知识的习得，而是还应在发现的过程中善于及时反思，总结经验，修正方法。在林老师的课上，她为学生创造了多次合作学习的机会，从4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，到2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，再到全班合作验证结论。在合作中，教师适时以问题引领学生进行方法总结与梳理，不断让学生在规律总结的过程中感悟方法，积累经验。
3.必要时点拨
儿童由于年龄小，研究经验不足，因此，一些必要的研究方法有时需要教师及时予以点拨。林老师在学生的研究过程中，结合研究进程，及时对研究方法进行了归纳与总结。不管是“列表找规律”“用字母表示关系式”还是“假设―验证”等，都在适当时机，对学生的研究方法及时予以点拨、归纳，让学生在规律探索的过程中，不断关注方法、重视方法、完善方法。这样，让规律教学不再是仅仅为了得到规律的教学，而是让其承载了更多育人功能，很好地渗透了研究精神与研究方法的培养。
三、训练思维：让“规律”探索超越规律
语文教学，常以“明线”和“暗线”两种视角进行课文分析。我认为，数学教学同样也存在这样两条线索，即学习活动的行进过程为“明线”，思维训练的巧妙渗透为“暗线”。本课中，思维训练虽不是“探索规律”的基本环节和主要任务，但它却作为贯穿整个活动的“暗线”一直存在。在林老师的教学中，她结合探索进程，及时巧妙地予以了关注和渗透，让规律探索超越了“规律”。
1.归纳与类比
林老师的课中，4人合作探索内点为1的多边形周点和面积之间的关系，2人合作探索内点为2的多边形周点和面积之间的关系，这两个环节，都是先研究实例，得出数据，再在数据中提取规律，思维方式是归纳推理。到了内点为0、3、4、5……多边形周点和面积之间的关系的探索过程，却是先猜想多边形面积与周点数量之间的关系，再分组用实例验证是不是存在这样的规律，思维方式是类比推理。两种推理方式的运用，既确保了顺利、及时得到结论，又巧妙训练了学生的思维。
2.比较与分类
比较是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。本课中，教师多次引导学生进行比较，在比较中发现规律。从周点相同（都为8）时，两个图形面积和内点数量的比较，到学生记录数据方式的比较；从发现内点为2的多边形周点和面积之间的关系时“为什么画出的图不一样，得到的关系式却都是一样”的比较，到最后分排验证规律后的整体比较，等等，时时引导学生在比较中发现规律，加深认识，训练思维。课始，引导学生感受“内点”“周点”和“面积”三个变量时，由于变量多，关系复杂，不便于研究，教师及时对研究对象进行了分类（内点为1时多边形周点和面积之间的关系，内点为2时多边形周点和面积之间的关系，内点为3、4、5……时多边形周点和面积之间的关系），既确保了研究活动的顺利有序进行，又渗透了分类思想。
3.抽象与概括
抽象就是在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。概括则是将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。林老师的课中，每一个探索活动之后，“作业纸”上都有学生记录关系式的空格，实际上就是在引导学生对发现的规律先进行抽象，然后用数学语言（数据或模型）进行概括表达。几次探索活动，几次抽象与概括，学生的抽象与概括能力得到了提升。