关键词：高等数学；创新思维；培养
1引言
高等数学的学习和学生的创新思维的训练与培养有着紧密的联系，在国内，不少的学者在教材、教法中提出过一些创新思维的培养，研究中学数学中学生创新思维培养模式较为广泛，但对于高等数学对大学生创新思维的培养相对较少，本文通过对大学生在学习高等数学中所表现出来的困难进行分析，结合高等数学的学科特点展开探讨。
2高等数学学习中的困因
2.1大学生学习高等数学的盲目性
在课堂上，学生大多数对数学的概念原理的形成过程，公式、定理、法则的推导，证明过程缺乏理解和兴趣，只重视结论及其简单的应用，对高等数学各部分内容的理解肤浅，缺乏自主的学习意识和独立思考的习惯，更没有课后复习和总结，对老师有很强的依赖心理，以及高中阶段形成的题海战术思维，都不同程度直接影响学生对于高等数学的学习，不利于创新思维的培养.
现行大学的高等数学教育并不尽人意.一方面，多数学生主观上认为学习高等数学没有多大用途，客观上主动学习的积极性不高；另一方面，现行高等数学教学课时少、内容多，教学多以教师为主导“，填鸭式”教学.教师往往按部就班地讲授教材，忽视对提出问题、分析问题、解决问题的能力培养，使学生觉得枯燥无味，学习兴趣不高.而高等数学知识的抽象性、逻辑性与严谨性，使学生对于高等数学的学习陷入被动学习和盲目接受的困境.
2.2高等数学知识的特点与学生的学习意识
首先，高等数学强调知识的理论性和系统性，强调在对基本原理的深入理解和把握的基础上，运用知识解决相关问题，对学生的知识迁移能力提出了很高的要求；第二，大学老师授课方式和高中的老师的讲课方式有很大的区别.大学的较学由于知识点较多，课时量很少，课容量大，教师更注重知识点的严密性和逻辑性，强调对概念、原理的理解和对思想方法的深刻理解，而学生的被动学习使得若干知识的应用难以取得效果.高等数学的学习强调理解式记忆和逻辑思维，但其内容和教学要求的反差直接影响学生学习高等数学。同时，有些同学认为学高等数学对将来的工作也没有多大用处，有些同学本来数学的基础就不好，进入大学后一接触高等数学，发现难以与中学数学知识直接衔接，学习高等数学的兴趣降低，对高等数学的学习消极应付.
3高等数学的学习对创新思维的培养
3.1高等数学中的定义理解和概念学习
概念学习的成功是数学学习成功的前提和基础，高等数学的概念是一系列探索活动的结果，是抽象思维的结果，学生应该将生活中的经历转化为概念的思维方式，理解概念的本质，完成有直观的表述到严格的形式化表述的转化，把知识内化，让学生在理解的基础上运用此来解决问题和习题.
波利亚在《数学的发现》一书中写到：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法或模式.这种模式，在以后类似的情况下，对读者求解问题，可以起指引作用.”学生在学习新的数学概念时，往往是从原有的认知结构出发，其学习效果与学生原有的认知结构有很大关系，学生的生活经验越丰富，原有的认知结构越完善，获得新概念的效果就越好.
对于刚入学的大学生来说，高等数学与初等数学的主要的不同之处在于，出现在他们面前的是全新的概念与方法.高等数学基本上都是以运动或者是动态的形式出现的（如极限、级数、积分等），正如恩格斯说：“运动进入了数学，辩证法也就进入了数学.”了解初等数学概念的特点为我们由初等数学的思维模式进入高等数学的思维模式，在为学习高等数学做好准备是很有指导意义的.既要把初等数学与高等数学的概念做适当的类比和连接，又要注重高等数学之间（如一重积分和二重积分，一元函数与二元函数的定义）的概念比较，以这种方式来培养创新思维.在高等数学中有很多题目可以一题多解，比如：求极限的方法有20几种；不定积分可以用凑微分，分部积分，分项积分，换元积分，甚至欧拉公式等方法来解；求定积分时，除了用不定积分的的方法，还可以利用被积函数与图形的奇偶性解题；线性代数中，求行列的算法，求极大线性无关组的方法也不少，所以平时学生在练习题目的时候，不要满足于特定的方法和固定的思维，而是应该考虑多个知识点的相关联系，从不同的知识点和角度入手，同时学生的创新思维能力也在潜移默化中得到了提高.
3.2逆向思维对创新思维的培养
正如一个定理的逆否定理一定成立一样，逆向思维是一种从相反的方向来考虑问题的思维方法，逆向思维其实是一种从对立统一中把握数学知识的联系，是辩证法在思维中的反映，逆向探求的思路，能够获得创新的思维方式.众所周知，柯西建立常微分方程的定性理论，就是运用逆向思维开通思路以达到成功的典型例证子.在解题时学生大多都是从正面下手，因此学生应该加强逆向思维的训练。逆向思维使得一个学生从已经有的思路的反方向去思考问题，顺推不行就逆推；正命题解决不行，从逆命题考虑.它有利于克服保守思维的惯性，往往会产生一些意想不到的效果，促进学生新思维的发展，从而提高对高等数学的创新思维意识，培养和提高自身的思维能力.
实践证明，对学生进行逆向思维方法的培养，体现了数学学科的教学特点，有利于提高学生灵活运用基础知识和解题技巧的能力，有利于培养学生思维的严谨性和创新性.值得注意的是，逆向思维的方法是建立在正向思维方法的基础上的，人们的逆向思维必须经过学习和实践，积累一定的知识和材料后才能进行，在学习和研究的过程中，有机地、适当地注意对所考虑的问题进行逆向思维，就能从对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清对某些概念的模糊认识，巩固所学的知识，培养学生的分析问题与解决问题的能力.
参考文献
[1]吕传汉.数学的学习方法[M].北京：高等教育出版社，2002：84-86.
[2]岳全发.高等数学演算一题多解[M].北京：新时代出版社，2004：21-22.
[3]张古慧.高等数学知识点与典型例解析[M].北京：清华大学出版社，2005：78-80.
关键词：培养数学思维方法
在日益激烈的高考竞争中，数学成绩是拉开学生距离的关键因素，因此培养学生形成良好的数学思维已经成为教学中的重中之重。学生只有掌握了科学的思维方法，在学习过程中才会主动去探索新知识，主动去发现问题，并且会分析问题，找到解决问题的方法，定期对数学知识进行总结、归纳、整理，提高学生的数学素养。因此，学生的数学思维能力是解决数学问题的金钥匙。那么在高中数学教W过程中，我们如何才能培养、发展学生的思维能力呢？
一、破除学生原有的思维定式，促使学生迸发数学思维活力
大部分学生长期受应试教育的影响，整天沉浸于题海战术之中，对传统的“满堂灌”、“填鸭式”的教学方法已经习以为常，这对于激发学生的数学思维活力是一个很大的阻力。针对这一现状，教师要充分了解、掌握学生的思维方式、思维特点，积极与学生进行心灵上的沟通，想学生所想，急学生所急，并不断更新自己的教学理念，改善教学手段，在教学上不断创新，以此来激发学生的学习兴趣，进而促使学生迸发数学思维活力。因此，在高中数学教学过程中，数学教师要运用一切可以运用的手段，激发和运用学生好奇心的作用，提高数学课堂教学效果。比如，在讲授“圆锥曲线”时，教师可以运用先进的多媒体教学手段，动画演示太空星球运动，导入“圆锥曲线”，增强数学课堂的趣味性、奇特性，这种教学方式不仅能引起学生注意，激发学习兴趣，而且方便学生理解、掌握数学知识，对于激发学生的数学思维具有很大的促进作用。
二、课堂教学活动的优化，有利于培养学生的数学思维能力
素质教育的广泛实施，要求在数学课堂教学过程中，教师要不断提升自身的专业水平，认真设计好每一堂课的教学活动，改变传统的教师教，学生学的的填鸭式教学方式，实现以教师为主导，学生为主体的教学模式，在课堂教学中通过先进的多媒体技术积极发挥教师的引导作用，激发学生的数学思维，潜移默化的过程中培养学生的数学思维能力。比如在数学课堂教学过程中，教师可以根据教学内容，巧妙设置疑问，启发、鼓励学生大胆思考，勇于探索，敢于质疑，创造学生施展自己才能的舞台，进而培养学生的数学思维。举例说明，在学习“均值不等式”这节内容时，教师可以事先在课前设定问题：“一波司登羽绒服商家适逢换季准备搞促销活动，准备了三种促销方案，第一种先打7折，然后打6.5折；第二种是先打6.5折，然后打7折；第三种是两次都打7折。比较这三种方法哪一种折扣后的羽绒服价格更便宜？”通过设计问题，引导学生思考，学生即使在没有预习的前提下，也会很快融入“均值不等式”的教学过程中，通过学习、掌握本节课的重点内容，培养学生的数学思维能力。
三、加强学法指导，提高学生思维能力
所谓数学教学就是指数学活动的教学，也就是数学思维活动的教学。因此在数学教学中培养学生形成良好的数学思维品质的关机因素在于提高学生的数学思维能力，这也是新课程改革的重要研究课题。“学而不思则罔，思而不学则殆”，孔子先生早在许多年前就指出在教学过程中要让学生学会分析问题，这样才能培养学生的思维能力。要使学生会思考、善于思考，教师必须加强基础知识和基本技能的培养，对学生的学习方法加以指导，让学生掌握扎实的双基，这样才能提高他们的思维能力。
在数学教学过程中，教师要培养学生养成认真审题的习惯，以此提高学生观察问题、分析问题的能力；教师还要引导学生养成有思考问题的习惯，注意观察题目的已知条件与问题之间的内在联系，运用已知条件推导出隐含条件，这样有利于提高学生的思维能力。
数学知识来源于生活，又服务于生活。在数学教学中，数学教师要把教学内容与生活实际相联系，使数学问题贴近日常生活，展现数学知识的实用性与价值性，丰富数学课堂。在教学中，努力创造条件，鼓励学生质疑、问难，发展学生的思维，提高学生运用数学知识解决生活实际问题的能力。
四、强化课堂练习与课下作业的引导，促进学生运用数学思维能力
受课堂教学时间的限制，课堂教学效果有一定的局限性。因此，教师要注重课堂练习、课下作业的引导作用，学生进行课堂练习、课下作业的过程是对所学知识进行消化、吸收、巩固、运用的过程，这也是提高学生分析问题、解决问题的能力的过程，有利于促进学生运用数学思维能力。因此教师在进行课堂练习和课下作业的布置上，要有针对性，要了解学生情况，作业、练习要有重点、在难易程度上有梯度，符合学生的认知规律。要通过发散性、开放性的题目，提升学生的数学思维能力。
（一）课堂练习要具有灵活性、多变性
课堂练习是检验学生当堂课对所学知识的掌握情况以及灵活运用能力，教师在课堂练习的布置上要灵活多变，引导学生从多种角度思考、探索同一问题，避免思维方式的单一性。
（二）课下作业要具有创造性、开放性
在课下作业的布置上，教师可以采取多种方式，来检验和提高教学效果。比如：针对于数学中提到的相似的概念、定理等召开小型辩论会，学生自己总结、归纳数学概念、定理的应用类型、区别，并通过例题的形式展现给大家，辩论的结果，由学生自己评判。通过参与，学生加深了对知识的理解，提高了归纳总结能力、灵活运用能力，培养了数学思维，提高了学生的创新能力。再如，在学习了“立方体”的知识后，教师可以布置有关“圆柱体、圆锥体”的作业，让学生自己用纸设计圆柱体、圆锥体，设计问题引导学生进行圆柱体、圆锥体表面积的计算。学生通过自己动手，增加了学习兴趣，锻炼了动手能力，对于促进数学思维的形成也有很大的帮助作用。
五、结语
总而言之，在全面推进素质教育的推动下，培养高中生的数学思维是数学老师教学的首要任务，教师要提升教育理念，采取恰当的教学手段，引导学生主动去探索数学知识，鼓励学生敢于想象、敢于质疑、积极思考，提高学生的数学思维能力，全面提高学生的综合素质。
参考文献：
现代教育强调“知识结构”与“学习过程”,目的在于发展学生的思维能力,而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质,才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会被遗忘,但思维品质的培养会影响学生的一生,思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
高中生一般年龄为15―18岁,处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成熟,学习的内容更加复杂、深刻,生活更加丰富多彩。这种巨大的变化对高中生的思维发展提出了更高的要求。研究表明,从初中二年级开始,学生的思维由经验型水平向理论型水平转化,到高中一、二年级,逐步趋向成熟。高中数学老师,应抓住学生思维发展的飞跃时期,利用成熟期前可塑性大的特点,做好思维品质的培养工作,使学生的思维得到更好的发展。
思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性建立在思维广阔性和深刻性的基础上,并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人们的工作、生活中,照章办事易,开拓创新难,难就难在缺乏灵活的思维。所以,思维灵活性的培养显得尤为重要。
如何使更多的学生思维具有灵活特点呢?我在教学实践中作了一些探索。
一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性
“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息,其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出,很可能会发生转换作用”。
在当前的数学教学中,普遍存在着比较重视集中思维的训练,而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必需的,也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。
1.引导学生对问题的解法进行发散。
在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
例1.求证:=tgθ。
证法1:(运用二倍角公式统一角度)
左===右。
证法2:(逆用半角公式统一角度)
左===右。
证法3:(运用万能公式统一函数种类)设tgθ=t,
左===t=右。
证法4:tgθ=(构法分母sin2θ并促使分子重新组合,在运算形式上得到统一。)
左===右。
证法5:可用变更论证法,只要证下式即可。
(1-cos2θ+sin2θ)sin2θ=(1-cos2θ)(1+cos2θ+sin2θ)。
证法6:由正切半角公式tgθ==,利用合分比性质,则命题得证。
通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法:(1)统一函数种类;(2)统一角度;(3)统一运算。
一题多解可以拓宽思路,增强知识间联系,使学生学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
2.引导学生对问题的结论进行发散。
对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论,让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论,并进行求解。
例2.已知:sinα+sinβ=(1),cosα+cosβ=(2),由此可得到哪些结论?
我让学生进行探索,然后相互讨论研究,各抒己见。
想法一:(1)+(2)可得cos(α-β)=-(两角差的余弦公式)。
想法二:(1)×(2),再和差化积:sin(α+β)[cos(α-β)+1]=,
结合想法一可知:sin(α+β)=。
想法三:(1)-(2),再和差化积:2cos(α+β)[cos(α-β)+1]=-,
结合想法一可知:可得cos(α+β)=-。
想法四:,再和差化积,约去公因式可得:tg=,进而用万能公式可求:sin(α+β)、cos(α+β)、tg(α+β)。
想法五:由sinα+cosα=1消去α得:4sinβ+3cosβ=。
消去β可得4sinα+3cosα=(消参思想)。
想法六:(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式:
sin(α+)+sin(β+)=。
(1)-(2)并逆用两角差的正弦公式:
sin(α-)+sin(β-)=。
想法七:(1)×3-(2)×4:3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0,
sin(α-θ)+sin(β-θ)=0(0=arctg),
即2sin・cos=0,
α=2kπ+π+β(与已知矛盾舍去)或α+β=2kπ+2θ(k∈Z),
则sin(α+β)、cos(α+β)、tg(α+β)均可求。
开放型题目的引入,可以引导学生从不同角度来思考,不仅思考条件本身,而且要思考条件之间的关系。根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论,有利于思维起点灵活性的培养,也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
二、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导
教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用,而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。
“导入出新”,良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。教师应以“创设情境”、“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段,使学生及早进入积极思维状态。
“错解剖析”,提供给学生题解过程,但其中有错误的地方。让学生反串角色,扮演教师批改作业。换一个角度来考查学生的知识掌握情况,寻找错误产生的原因,以求更好地加深对知识的掌握。
“例题变式”,从例题入手,变换条件寻求结论的不同之处;变换结论寻求条件的不同之处;变换提出问题的背景,寻求多题一解;变换问题的思考角度,寻求一题多解;……以变来培养学生灵活的思维。
以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。
几年来,我所教的学生在经过有目的的培养后,思维品质都有了很大的提高,相应的,学习质量也有了很大提高。